f(x)=2/x Punkt B(u|f(u)). Zeigen, dass der Flächeninhalt des Dreiecks OAC unabhängig von u ist?

Question

Verständnisfrage

Aufgabe: f(x)=2/x Punkt B(u|f(u))

Die Tangente t an B schneidet die x-Achse im Punkt A und die y-Achse in Punkt C

Zeigen Sie,dass der Flächeninhalt des Dreiecks OAC unabhängig von u ist....

Sollte Es nicht bei y=4 schneiden???

Problem/Ansatz:

Bitte so einfach wie möglich erklären :D

Answer 1

f(x) = 2/x

t(x) = f'(u)·(x - u) + f(u) = 2·(2·u - x)/u^2

y-Achsenabschnitt bei 4/u

Nullstelle bei 2·u

Fläche des Dreiecks ist damit 1/2 * 4/u * 2·u = 4 und damit unabhängig von u.

Comments

d.h. es sollte bei y=4 schneiden oder!?

Dies tut es aber nicht, wieso???

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Wie kommst du nur darauf dass es bei y=4 schneiden sollte. Mathecoach hat ausgerechnet, es schneidet bei y=4/u.

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Oh dann hab ich  es missverstanden aber wie kommt man dann auf die Schnittstellen und wie kann man es einzeichnen?

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Du kannst es für ein Bestimmtes u einzeichnen.

Berechnet habe ich es ja schon oben.

Y-Achsenabschnitt bekommst du über t(0)

Nullstelle bekommst du über t(x) = 0

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@mathecoah, bedeutet das dass ich für u auch 2 einsetzen könnte also beliebig?

Die gerade muss nicht so verlaufen wie im Buch?

Hab ich dich richtig verstanden?

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Richtig. Allerdings soll laut Aufgabe u einen Wert zwischen 0 und 1 annehmen.

Aber auch für u = 2 ergäbe sich ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von 4.

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Vielen vielen Dank, auf das wäre ich gar nicht gekommen :D!

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Grafisch kannst du dir das wie folgt vorstellen:

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@mathecoach ich hätte eine letzte Frage zu dieser Aufgabe und zwar steht bei B(u|f(u)); 0<u<1 im 1.Feld dazu.

Was bedeutet es für die Aufgabe bzw. Skizze und ändert es an der Rechnung irgendetwas?

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Damit ist der erste Quadrant des Koordinatensystems gemeint. Also das Feld, welches von den positiven Achsen gebildet wird.

Die Achsen teilen ja das Koordinatensystem in 4 Felder bzw. in 4 Quadranten.

Answer 2

Die Tangente an den Graphen von f(x)=2/x im Punkt (u|2/u) hat die Gleichung:

y=(4u-2x)/u². Diese Gerade schneidet die Koordinatenachsen in A(4/u | 0) und C(0 | 2u). Die Fläche F des Dreiecks ist das halbe Produkt der Achsenabschitte: F=1/2·(4/u·2u) =4.