Punkt B und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

Question

Ich schreibe bald eine klausur in Mathe und habe die Aufgabe bekommen zum üben

Die Fläche des Dreiecks OAB mit O(0/0), A(t/0) und B( t/f(t) ),0<t<3, soll maximal werden. Wie berechne ich den Punkt B   und den Flächeninhalt des Dreiecks ?

f(x) = -1/3x^3+ x^2

Answer 1

Nun, die Punkte O und A liegen auf der x-Achse (y-Koordinate 0) und der Punkt B liegt senkrecht über dem Punkt A ( x_B= x_A ). Das Dreieck ist also rechtwinklig und sein Flächeninhalt A ist das das Produkt der Längen seiner Katheten dividiert durch 2, also:

A = a * b / 2

Nun ist a der Abstand des Punktes A vom Ursprung, also :

a = t

und b ist der Abstand des Punktes B vom Punkt A , also

b = f ( t )

Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks OAB:

A ( t ) = t * f ( t ) / 2

mit f ( t ) =  ( - 1 / 3 ) t ³ + t ² also:

A ( t ) = t * ( ( - 1 / 3 ) t ³ + t ² ) / 2

= ( ( - 1 / 3 ) t ⁴ + t ³ ) / 2

 

Ableiten und Nullsetzen ergibt:

A ' ( t ) = ( ( - 4 / 3 ) t ³ + 3 t ² ) / 2 = 0

<=> (  t ² / 2 )  ( ( - 4 / 3 ) t  + 3 ) = 0

<=> t = 0 oder  ( 4 / 3 ) t  = 3

<=> t = 0 oder t = 9 / 4

 

t = 0 scheidet als Lösung aus, da für t = 0 alle drei Punkte aufeinander fallen.

Ist t = 9 / 4 ein Maximum?

Prüfen mit zweiter Ableitung:

A ' ' ( t ) =  ( - 4 t ² + 6 t ) / 2

A ' ' ( 9 / 4 ) = ( ( - 364 / 16 ) + ( 54 / 4 ) ) / 2 = - 91 / 4 + 54 / 4 < 0

Also hat A ( t ) bei t = 9 / 4  = 2,25 tatsächlich ein Maximum.

 

Für die Koordinaten der Punkte A und B gilt an der Stelle t = 2,25:

A ( 9 / 4 | 0 ) = ( 2,25 | 0 )

B ( 9 / 4 | f ( 9 / 4 ) ) = ( 9 / 4 | 81 / 64 ) =  ( 2,25 | 1,265625 )

und der maximale Flächeninhalt ist:

A_max = 2,25 * 1,265625 / 2 ≈ 1,424 (FE) ²