Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen. A (1/1/1) B (7/4/7) C (5/6/-1)

Question

Gegeben sind drei Punkte A (1/1/1) B (7/4/7) C (5/6/-1)

Den Flächeninhalt berechnet man nach dieser Formel: 1/2 * a * h

a ist Vektor BC und h ist der Abstand von A zur Geraden durch B und C

Meine Geradengleichung autet: (-2/7/7) + t* (-2/2/-8) und die Ebene: -2x1 + 2x2 -8x3 = -8

g in E liefer t = 5/12 und insgesamt als Abstand Wurzel aus 274/2. Das Ergebnis ist aber anscheinend falsch.

Danke :)

Answer 1

die Strecke a ergibt sich aus dem Abstand zwischen den Punkten B  und C = 8,49

h ist der kürzeste Abstand zwischen der Geraden durch B und C und dem Punkt A. Das kann man mit Lotfußpunktverfahren berechnen:

Daraus ergibt sich

8 - 10 - 16 + 4r +4r +64 r = 0

-18 + 72r = 0

r = 1/4

In die Geradenergleichung eingesetzt ergeben sich die Koordinaten des Punktes D

Die Strecke AD beträgt 6,36

und der Flächeninhalt des Dreiecks 8,49 * 6,36 / 2 = 27

Gruß

Silvia

Comments

Ich kenne das Lotfußpunktverfahren anders. Daher habe ich eine Frage zum zweiten Schritt: Hast du das den Vektor AG gebildet und G ist dabei der allgemeine Geradenpunkt und da dieser Vektor zum Richtungsvektor der Geraden senkrecht sein muss, dann die Gleichung aufgestellt?

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Meinst du mit dem zweiten Schritt

Das ist die Fomel, die ich für das Lotfußpunktverfahren kenne.

Ich drücke es mal unmathematisch aus:

Klammer auf: Gerade minus Punkt, Klammer zu mal Richtungsvektor der Geraden = 0

Answer 2

In der Schule wird sehr oft das Lotfußpunktverfahren benutzt. 

Da das Verfahren über das Kreuzprodukt aber erheblich einfacher und schneller ist würde ich das bevorzugen.

Vielleicht kann mich mal jemand aufklären, warum es den Schülern immer so umständlich und schwer gemacht werden muss.

Gegeben sind drei Punkte A (1/1/1) B (7/4/7) C (5/6/-1)

AB = B - A = [6,3,6]
AC = C - A = [4,5,-2]

Fläche Berechnet sich nach

1/2 * |AB x AC|
= 1/2 * |[6,3,6] x [4,5,-2]|
= 1/2 * |[-36, 36, 18]|
= 1/2 * √(36^2 + 36^2 + 18^2)
= 27 FE

Answer 3

Hallo HJ,

für den Flächeninhalt eines Dreiecks gibt es auch die Formel

A_ΔABC  =  1/2 • |  \(\overrightarrow{AB}\)  x  \(\overrightarrow{AC}\) |     [ FE ]

Hier also:

1/2 · | ( [5, 6, -1] - [1, 1, 1] ) ⨯ ( [7, 4, 7] - [1, 1, 1] ) |   =  ...   = 27   [ FE ] 

Dazu musst du aber das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) zweier Vektoren kennen.

Gruß Wolfgang