Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x₀|f(x₀)) mit der …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x₀|f(x₀)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

f(x)= 0,5x² + 2

x₀=2

n(x)= −0,5x + 5

Answer 1

Wie man Gleichungen von Tangenten bestimmt, siehst du in den Antworten zu einer deiner anderen Fragen. Ebenfalls wie man den Schnittpunkt von $n$ und der Tangente berechnet.

Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist

        $\text{Flächeninhalt}=\frac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}$.

Comments

Was mache ich, wenn ich die Tangente und n berechnet habe?

Was ist g und was ist h

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Was mache ich, wenn ich die Tangente und n berechnet habe?

Schnittpunkt berechnen. Das ist eine Ecke des Dreiecks.

Was ist g und was ist h

In der Formel für den Flächeninhalt ist g eine Seite des Dreicks und h die dazu passende Höhe (das heißt sie verläuft von der g gegenüberliegenden Ecke senkrecht auf die Gerade, in der g liegt).

Answer 2

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(2|f(x₀)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

$f(x)= 0,5x^2 + 2$       $f(2)= 4$        P$(\blue{2}|\red{4}))$
$n(x)= −0,5x + 5$

$f'(x)=x$    $f'(2)=\orange{2}$

Berechnung der Tangente:

$\frac{y-\red{4}}{x-\blue{2}}= \orange{2}$

$y=2x$ geht durch den Ursprung → Flächenberechnung

Schnitt der Tangente $y=2x$  mit  $n(x)= −0,5x + 5$

$2x= −0,5x + 5$

$x=\blue{2}$  $y=\red{4}$

Es existiert ein rechter Winkel zwischen $y=2x$ und $n(x)= −0,5x + 5$, weil

$2\cdot (-0,5)=-1$ ist

Die Normale $n(x)= −0,5x + 5$schneidet die x-Achse in N$(10|0)$

Fläche des Dreiecks $A=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \red{4}=20$