Aufgabe:
Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \) Riemann-integrierbar auf \( [0,2 \pi] \) und \( 2 \pi \)-periodisch. Beweisen Sie folgende Eigenschaften der Fourier-Koeffizienten \( \left(\widehat{f}_{k}\right)_{k \in Z} \) :
(a) Ist \( f \) gerade, d.h. \( f(x)=f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), so gilt \( \widehat{f}_{k}=\widehat{f}_{-k} \) für alle \( k \in \mathbb{Z} \).
(b) Ist \( f \) ungerade, d.h. \( f(x)=-f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \), so gilt \( \widehat{f}_{k}=-\widehat{f}_{-k} \) für alle \( k \in \mathbb{Z} \).
(c) Ist \( f \pi \)-periodisch, so gilt \( \widehat{f}_{2 k+1}=0 \) für alle \( k \in \mathbb{Z} \).
(d) Beweisen oder widerlegen Sie: Gilt \( \widehat{f}_{k}=\hat{f}_{-k} \) für alle \( k \in \mathbb{Z} \), so ist \( f \) gerade.
Problem/Ansatz:
Bei a und b habe ich versucht die Funktion zur Berechnung der Fourier Koeffizienten zu nutzen aber kam nichts sinnvolles raus. Bei der c und d weiß ich gar nicht wo ich anfangen soll.
