Zeigen Sie, dass es sich bei (R × R, +, ·) um einen Körper handelt.

Question

Aufgabe:

Auf der Menge R × R seien die folgenden Operationen definiert:
(x, y) + (u, v) := (x + u, y + v)
(x, y) · (u, v) := (xu − yv, xv + yu)
Zeigen Sie, dass es sich bei (R × R, +, ·) um einen Körper handelt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß zwar, welche Gesetze erfüllt werden müssen, damit es sich um einen Körper handelt, aber verstehe leider nicht, wie man es mit den gegebenen Operationen beweisen könnte.
Eine Lösung mit erläutertem Lösungsweg würde mir sehr helfen!

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Z.B.

(a,b) * ( (c,d) + (e,f) ) = (a,b) * (c+e,d+f) = (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e))

= (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)

(a,b) * (c,d) + (a,b) * (e,f) = (ac-bd, ad+bc) + (ae-bf, af+be)

= (ac+ae-bd-bf, ad+af+bc+be)

Also ist (a,b) * ( (c,d) + (e,f) ) = (a,b) * (c,d) + (a,b) * (e,f)

d.h. ein Distributivgesetz gilt.