Beweisen Sie, dass folgende Gleichheit gilt und f auf [a,b] integrierbar ist.

Question

Guten Abend, Ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Seien a,b,c∈ℝ mit a<c<b und sei f auf [a,c] und [c,b] integrierbar. Zeigen Sie, dass f dann auf [a,b] integrierbar ist und folgende Gleichheit gilt: \( \int\limits_{a}^{b} \) f(x)dx = \( \int\limits_{a}^{c} \) f(x)dx + \( \int\limits_{c}^{b} \) f(x)dx .

Ich habe zwei Ideen diesen Beweis anzugehen:

1. Mit folgender Formel: |R(P,ζ,f) - I| < ε, mit I = \( \int\limits_{}^{} \) f(x)dx mit ihren jeweiligen Grenzen und die beiden Gleichungen für die beiden Integrale aufzustellen und kleiner ε/2 zu setzen und durch Umformungen auf ein Ergebnis/Beweis zu kommen, jedoch bin ich da an einer Stelle angekommen, an der ich nicht mehr weiß, wie ich fortfahren soll. Bei Interesse kann ich ggf. die Stelle diktieren in der Kommentarsektion.

2. Mit folgender Formel: O(P,f) - U(P,f) < ε und dort mit den selben Werten der Vereinigung aus den Partitionen von [a,c] und [c,b] zu argumentieren bzw. mit deren Endwerten, welche die selben sind wie die der Partition von [a,b].

Ich weiß nicht, welche der beiden Möglichkeiten am besten ist. Evtl. könnte es sinnvoll sein auch beide für jeweils einen Teil des Beweises zu nutzen.

Ich würde mich sehr über jegliche Antworten erfreuen.

Mit freundlichen Grüßen

Casio991

Answer 1

Text erkannt:

\( a=x_{1}<\ldots<b<\ldots<c-x_{4} \)
\( =\int \limits_{0}^{b} g(a x) x+\int \limits_{b}^{g} \operatorname{lag} d x \)
\( \left.\left.=\sup \sum \limits_{i=1}^{b} \inf (x)\left(x_{i}\right)(x i n)\right]-x\right)+\sup \sum \limits_{b+1}^{n} i n g f(x)\left(x_{i}\right)(x i n) \)
\( \leqslant \sup \sum \limits_{i=1}^{n} i \operatorname{sen}(x) \cdot\left(x_{i n}-x_{i}\right) \)

Text erkannt:

\( a=x_{1}<\ldots<b<\ldots<c-x_{4} \)
\( \operatorname{ing}_{p} \sum \limits_{i=1}^{n} \operatorname{sip}_{x \in\left[x+1, x_{i n}\right]} g(x) \cdot\left(x_{i n}-x_{i}\right) \)
\( =\int \limits_{a}^{b} \operatorname{sen} x x+\int \limits_{b}^{\sin } \operatorname{sos} d x \)
\( \leqslant \sup \sum \limits_{i=1}^{b} \sup _{k \in[(x), x i n j}\left(k_{i}+1-x\right)+\sup \sum \limits_{b+1}^{n} \sup \delta(x)\left(x_{i}\right)\left(x_{i n}\right)(1-x) \)

Text erkannt:

Ich würde es auch mit dieser Ungleichung machen.

Comments

Guten Tag,

Vielen Dank für deine Antwort, jedoch fällt es mir schwer ,aufgrund der Handschriftlichkeit, der Beweisidee Schritt für Schritt folgen zu können.

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Die Idee ist, dass du weißt, dass das Integral von a bis c und von c bis b existiert, damit weißt du das lim bzw hier mit Supremum und infimum über die Obersumme und der Untersumme zu diesen Grenzen mit dem Integral übereinstimmt, dann ist dir Idee, dass du eine Abschätzung machst bei der Obersumme nach unten und bei der Untersumme nach ob sodass daraus eine Obersumme bzw unter Summe entshet in den Grenzen a bis bis b, und das gilt nach Eigenschaft von Supremum und infimum. Naja aber dann weißt du ja dass eigentlich Obersumme von a bis b größer ist als die Untersumme von a bis b mit Supremums und infinumsbildung aber hier genau die Ungleichung anders herum steht. Damit stimmen aber ober und Untersumme überein und damit existiert das Integral von a bis b