Für jedes n nehmen wir die Partition $$\mathcal{P}_n=\{0 < \frac{1}{n}<\frac{2}{n}< \dots < \frac{n-1}{n}<1\}$$
Dann $$\mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right) \cdot \sup f \left( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k+1}{n}=\frac{n(n+1)}{2n^2}$$
$$\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{k+1}{n}-\frac{k}{n} \right) \cdot \inf f \left( \left [ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right ] \right)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\frac{k}{n}=\frac{(n-1)n}{2n^2}$$
Also $$\frac{n-1}{2n}=\mathcal{L}(f, \mathcal{P}_n) \leq \underline{\int_a^b} f \leq \overline{\int_a^b} f \leq \mathcal{U}(f, \mathcal{P}_n)=\frac{n+1}{2n}$$
Wir nehmen den Grenzwert und haben folgendes $$\underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f =\frac{1}{2}$$