Aus dem Riemann-Kriterium folgt, dass für jede natürliche n ≥ 1 Treppenfunktionen \({ϕ}_{n}, {ψ}_{n} ∈ Τ [a, b]\quad mit\quad 0 ≤ {ϕ}_{n} ≤ ƒ ≤ {ψ}_{n}\) existieren, so dass gilt: $$\quad \int _{a}^{b}{ {(ψ }_{n}} (x)-{ \phi}_{n }(x))dx<\frac {1}{ n } .$$ Wir betrachten die Treppenfunktionen \( { p }_{ n }(x):=\sqrt { { \phi }_{ n }(x)+\frac { 1 }{ n } } -\sqrt { \frac { 1 }{ n } } \) und \( { q }_{ n }(x):=\sqrt { \psi _{ n }(x)+\frac { 1 }{ n } }. \)
Beweisen Sie:
1) $$ { p }_{ n }\le \sqrt { f } \le { q }_{ n }, $$
2) $$\int _{ a }^{ b }{ (q_{ n } } (x)-{ p }_{ n }(x))dx<\frac { 1 }{ \sqrt { n } } (b-a+1).$$
3)
Leiten Sie daraus ab, dass \( \sqrt { f } \) Riemann-integrierbar ist.
