Aufgabe Gram-Schmidt-Verfahren im Vektorraum der Polynomen:
Wir betrachten den euklidischen Raum der Polynome \( \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \) mit dem Skalarprodukt
\( <r, s>:=2 r_{2} s_{2}+r_{1} s_{1}+2 r_{0} s_{0} \)
mit \( r:=r_{2} x^{2}+r_{1} x+r_{0}, \quad s:=s_{2} x^{2}+s_{1} x+s_{0} \)
und eine Basis \( \mathscr{B}=\left\{p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} . \) (Die konkrete Basis \( \mathscr{B} \) ist im Aufgabenteil des Applets gegeben.)
Daraus soll eine Orthonormalbasis \( \left\{q_{1}, q_{2}, q_{3}\right\} \) nach dem Verfahren von Gram-Schmidt berechnet werden.
a) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{1}:=\frac{p_{1}}{\|_{p_{1} \|}} \).
b) Berechnen Sie \( l_{2}:=p_{2}-<p_{2}, q_{1}>q_{1} \).
c) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{2}:=\frac{b}{\left\|\iota_{2}\right\|} \).
d) Berechnen Sie \( l_{3}:=p_{3}-<p_{3}, q_{1}>q_{1}-<p_{3}, q_{2}>q_{2} \).
e) Berechnen Sie das normierte Polynom \( q_{3}:=\frac{l_{\mathrm{s}}}{\left\|l_{\mathrm{s}}\right\|} \).
Antwort:
\( \mathcal{B}=p_{1}, p_{2}, p_{3} \) mit \( p_{1}:=4 \cdot x^{2}+4, \quad p_{2}:=-7 \cdot x, \quad p_{3}:=-2 \cdot x^{2}+2 \cdot x+1 \)
\( q_{1} = \huge \square \)
