Kathetensatz durch Höhensatz?

Question

Hallo :)

Ich muss einenem geometrischen Beweis dafür finden, dass der Kathetensatz aus dem Höhensatz folgt. Ich hab nur leider keine Idee wie ich das angehen könnte. Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte :)

Answer 1

Hallo,

Ich muss einenem geometrischen Beweis dafür finden, dass der Kathetensatz aus dem Höhensatz folgt. Ich hab nur leider keine Idee wie ich das angehen könnte.

Weißt Du was bei geometrischen Beweisen das wichtigste ist?

[spoiler]

einfach mal 'ne Skizze machen und dann alles einzeichnen, was einem dazu einfällt. Insbesondere gleichlange Strecken und Winkel markieren.

[/spoiler]]

... und im Grunde fällt einem dann die Antwort auf diese Frage in den Schoß ;-) hier ist die Skizze:

Der Höhensatz besagt $$h^2 = pq \implies F_{\color{green}\text{grün}} = F_{\color{blue}\text{blau}}$$und Pythagoras sagt$$p^2 + h^2 = a^2 \implies F_{\color{orange}\text{gelb}} + F_{\color{green}\text{grün}} = F_{\color{red}\text{rot}}$$und wenn man nun den Inhalt der grünen Fläche in der zweiten Gleichung durch den gleichgroßen Inhalt der blauen Fläche ersetzt:$$F_{\color{orange}\text{gelb}} + F_{\color{blue}\text{blau}} = F_{\color{red}\text{rot}} \implies p^2+pq = a^2 = p\underbrace{(p+q)}_{=c} = a^2$$... dann folgt daraus unmittelbar der Kathetensatz.

Gruß Werner

Comments

Vielen, vielen Dank!

Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie genau Sie bei der Konstruktion vorgegangen sind?

---

Siehst du die beiden Kreisbögen?

---

Könnten Sie mir vielleicht erklären, wie genau Sie bei der Konstruktion vorgegangen sind?

das Bild soll gar keine Konstruktion sein. Ich habe einfach nur ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck \(\triangle ABC\) gezeichnet und die relevanten Quadrate über der Seite \(b\) (rot) und der Höhe \(h_c\) (grün) hinzu gefügt.

Und mit Hilfe der Kreisbögen habe ich die Teilung der Seite \(c\) in \(p\) und \(q\) in die Senkrechte übernommen. So entsteht das Quadrat \(p \times p\) (gelb) und das Rechteck \(p \times q\) (blau).

Bem.: \(p\) soll hier die Strecke \(AH_c\) sein. \(H_c\) ist der Fußpunkt der Höhe \(h_c\) auf der Seite \(c\) (der Hypotenuse)

Falls Du dazu noch Fragen hast, so melde Dich bitte noch einmal.

---

Ahhh okay super, jetzt versteh ich es!

Vielen vielen lieben Dank für die Hilfe!