Gleichmäßig Punktweise Konvergenz

Question

Aufgabe:

Markieren Sie alle richtigen Aussagen.

A. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von beschränkten Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die gleichmäßig gegen eine Funktion \( f \) konvergiert. Dann ist \( f \) ebenfalls beschränkt.

B. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von beschränkten Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die punktweise gegen eine Funktion \( f \) konvergiert. Dann ist \( f \) ebenfalls beschränkt.

C. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty), f_{n}(x):=e^{-n x} \) konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x)=0 \) für alle \( x \in[0, \infty) \).

D. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}:[0,1) \rightarrow[0,1), f_{n}(x):=x^{n} \) konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x)=0 \) für alle \( x \in[0,1) \).

E. Alle obigen Aussagen sind falsch.

Problem/Ansatz:

Ich bin der Meinung, dass B und C richtig sind?

Comments

Ich denke, dass nur A richtig ist.

---

Hallo
warum kann A falsch sein, wenn du B für richtig hältst?
C) fn(0)=1 für alle n

versuche jeweils eine Begründung für deine Vermutung, denn das ist ja Mathe, kein Rätselspiel .

lul

---

Text erkannt:

Markieren Sie alle richtigen Aussagen.
A. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x):=\chi_{[-n, n]} \) konvergiert punktweise gegen die Funktion \( f(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Hier sei \( \chi_{A} \) für eine Menge \( A \subset \mathbb{R} \) definiert als \( \chi_{A}(x)=1 \) falls \( x \in A \) und \( \chi_{A}(x)=0 \) falls \( x \notin A \).
B. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x):=\frac{\exp \left(-n x^{2}\right)^{n}}{n} \) konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
C. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von beschränkten Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die punktweise gegen eine Funktion \( f \) konvergiert. Dann ist \( f \) ebenfalls beschränkt.
D. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die punktweise gegen eine Funktion \( f \). Dann konvergiert die Folge gleichmäßig gegen \( f \).
E. Alle obigen Aussagen sind falsch.

Nur A sollte hier auch richtig sein mit der Begründung:

x∈ℝ, dann gilt fn(X) für alle n≥⌈x⌉ +1

was sagst du ?

LG

---

Was soll das denn, hier noch einen 2. Satz Aufgaben im Kommentar nachzuschieben??

---

sorry ich wusste nicht dass das nicht erlaubt ist

---

Neue Aufgabe, neuer thread, sonst findet niemand mehr durch

Gruß lul

Answer 1

Alles falsch außer A, brauchst du die Begründungen?

Comments

Vielen Dank!!

---

Text erkannt:

Markieren Sie alle richtigen Aussagen.
A. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x):=\chi_{[-n, n]} \) konvergiert punktweise gegen die Funktion \( f(x)=1 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \). Hier sei \( \chi_{A} \) für eine Menge \( A \subset \mathbb{R} \) definiert als \( \chi_{A}(x)=1 \) falls \( x \in A \) und \( \chi_{A}(x)=0 \) falls \( x \notin A \).
B. Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x):=\frac{\exp \left(-n x^{2}\right)^{n}}{n} \) konvergiert gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x)=0 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \).
C. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von beschränkten Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die punktweise gegen eine Funktion \( f \) konvergiert. Dann ist \( f \) ebenfalls beschränkt.
D. Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Funktionen \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die punktweise gegen eine Funktion \( f \). Dann konvergiert die Folge gleichmäßig gegen \( f \).
E. Alle obigen Aussagen sind falsch.

Nur A sollte hier auch richtig sein mit der Begründung:

x∈ℝ, dann gilt fn(X) für alle n≥⌈x⌉ +1

was sagst du ?

---

Ich wüsste nicht warum die B falsch sein sollte ;) wenn du das Supremum über den die Funktion nimmst, dann kannst du einfach 0 für x einsetzten, e Funktion ist ja monoton wachsend,dann ist das aber immer noch eine Nullfolge, die gegen 0 konvergieren :)

---

macht Sinn, vielen Dank