Was ist der limes von x→unendlich von (1+1/x^2)^x

Question

Wie berechne ich den Grenzwert von:

$$ \lim \limits _ { x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) ^ { x } $$

Answer 1

Zumindest für x > 0 kann man u = x² substituieren:

$$ \lim \limits _ { x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) ^ { x } = \lim \limits _ { u \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac { 1 } { u } \right) ^ { \sqrt { u } } = \lim \limits _ { u \rightarrow \infty } \left( \left( 1 + \frac { 1 } { u } \right) ^ { u } \right) ^ { \frac { 1 } { \sqrt { u } } } $$

Der Ausdruck rechts ist nun eine Verkettung konvergenter Ausdrücke, setzt man plump x = ∞ an, dann erhält man einen Ausdruck der Form e⁰=1.

Das ist aber ein wohldefinierbarer Ausdruck, also ist er der Grenzwert.

(Probleme gibt es nur, wenn z.B. 0⁰ oder 1^∞ herauskommt. Eine feste Zahl hoch 0 gibt immer 1.)

Comments

wenn ich für x = ∞ einsetze muss ich doch dann 1/u^{1/2} = 0 mit u multiplizieren und das wäre doch ein unbestimmter ausdruck wie 0*∞ oder?

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Nein, das wird ja gerade dadurch vermieden, dass innen drin ein Ausdruck steht, dessen Konvergenz bekannt ist, denn

lim_[u->inf] (1+1/u)^u = e

Answer 2

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