Zeigen Sie, dass sich A = OR schreiben lässt

Question

Aufgabe:

Sei A eine invertierbare n × n-Matrix, s1, . . . , sn die Spaltenvektoren.
Sei o1, . . . , on die orthonormale Basis, die durch das Gram-Schmidt-Verfahren bezüglich
des Standardproduktes aus diesen Vektoren gewonnen wird. Sei O die Matrix, deren
Spaltenvektoren genau die Vektoren o1, . . . , on sind. Zeigen Sie, dass sich A = OR
schreiben lässt, wobei R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir dafür jeder Ansatz.

Answer 1

Hallo,

das ergibt sich direkt aus dem Verfahren: Wenn \(o_1, \ldots,o_k\) bestimmt sind, dann wird \(o_{k+1}\) so bestimmt:

$$w_{k+1}:=s_{k+1}-\sum_{j=1}^k\langle s_{k+1},o_j\rangle o_j, \qquad o_{k+1}:=\frac{1}{\|w_{k+1}\|}w_{k+1}$$

Das schreib man um zu:

$$s_{k+1}=\sum_{j=1}^k\langle s_{k+1},o_j\rangle o_j+\|w_{k+1}\|o_{k+1}=\sum_{j=1}^{k+1}r_{j,k+1}o_j \quad (\ast)$$

wobei \(r_{j,k+1}=\langle s_{k+1},o_j\rangle\) bzw. \(r_{k+1,k+1}=\|w_{k+1}\|\) ist

Damit beschreibt \((\ast)\) gerade die (k+1)-te Spalte der gewünschten Matrizengleichung \(A=OR\).

Gruß Mathhilf