Extremstelle mit Parameter

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die reellen Funktion g_a(x)= 0,5x^2 -ax

Berechnen sie die extremstellen in Abhängigkeit von a und untersuchen Sie den Einfluss des Parameters a auf die Existenz eines Hoch bzw. Tiefpunkts

Problem/Ansatz:

Answer 1

Gegeben ist die reellen Funktion \(ga(x)= 0,5x^2 -a*x\)
Berechnen sie die Extremstellen in Abhängigkeit von a und untersuchen Sie den Einfluss des Parameters a auf die Existenz eines Hoch bzw. Tiefpunkts

\(g´(x)= x -a\)        \( x -a=0\)       \( x=a\)         \(g(a)= -0,5*a^2 \)

\(g´´(x)= 1\)→ Minimum

Answer 2

g_a(x)= 0,5x^2 -ax

Wegen des positiven Faktors 0,5 vor dem x^2 ist der Graph von g(x) auf jeden Fall und unabhängig von a eine nach oben geöffnete Parabel, bei der der Scheitelpunkt der Tiefpunkt ist. Wenn eine quadratische Funktion zwei Nullstellen hat, liegt die Extremstelle genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen.

Durch Ausklammern von x erhalten wir

g_a(x)= x(0,5x -a) mit den beiden Nullstellen x=0 und x=2a.
Die Extremstelle x_e ist damit x_e=a, und das ist eine Minimumstelle.

Answer 3

Aloha :)

Schreibe die Funktionsgleichung um, indem du eine Null addierst:

$$g_a(x)=0,5x^2-ax=0,5x^2-ax+\underbrace{0,5a^2-0,5a^2}_{=0}=(0,5x^2-ax+0,5a^2)-0,5a^2$$$$\phantom{g_a(x)}=0,5(x^2-2ax+a^2)-0,5a^2=0,5(x-a)^2-0,5a^2=\frac12(x-a)^2-\frac{a^2}{2}$$

Ein Maximum gibt es nicht, weil \((x-a)^2\) beliebig groß wird. Allerdings ist eine Quadratzahl immer \(\ge0\), daher ist \((x-a)^2\) minimal für \(x=a\). Der zugehörige Funktionswert ist \(g_a(a)=-\frac{a^2}{2}\).

Die Funktion hat also nur ein Minimum im Punkt \(\left(a\big|-\frac{a^2}{2}\right)\).