So, wie die Aussage in der Frage beschrieben ist, gilt sie nicht, wenn z.B. \( x_{0}=0 \) gilt, gibt es kein Polynom, welches für einen Datensatz, welcher \( y_{i} \neq 0 \) beinhaltet, mit diesem übereinstimmt. Ich werde also \(x_0\neq 0\) voraussetzten.
Wir schreiben
\(\begin{aligned} p(x)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, \quad a_{i} \in \mathbb{K}\end{aligned} \)
Es ergibt sich also das Gleichungssytem
\(\begin{aligned} \sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} x_{0}^{i}=y_{0}, \quad \sum \limits_{i=1}^{n} i a_{i} x_{0}^{i-1}=y_{1}, \quad \ldots, \quad n ! a_{n}=y_{n}\end{aligned} \)
Bringen wir dieses Gleichungssystem in Matrixform, so ergibt sich
\( \underbrace{\left[\begin{array}{ccccc}1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \cdots & x_{0}^{n} \\ 0 & 1 & 2 x_{0} & \cdots & n x_{0}^{n-1} \\ 0 & 0 & 2 & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n !\end{array}\right]}_{\boldsymbol{A}}\left[\begin{array}{c}a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}y_{0} \\ y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right] \)
Nun gilt
\(\begin{aligned} \operatorname{det}(\boldsymbol{A}) \neq 0 \Longrightarrow \operatorname{ker}(\boldsymbol{A})=\{0\}\end{aligned} \)
und somit sind die Koeffizienten \( a_{0}, \ldots, a_{n} \) eindeutig bestimmt.
