Parabel in Scheitelform

Question

Aufgabe:

Gleichung in Scheitelform notieren und mit der Parabel einzeichnen und die Nullstellen angeben. y=x²+10x+ 24

Problem/Ansatz:

Ich kenne schon die Lösung und die Nullstellen, da ich das Lösungsbuch habe. Jedoch verstehe ich den zweiten Schritt dieser Rechnung nicht:

y= x ²+10x+ 5²+24 - 5²

Wie komme ich hier denn auf die 5² ?

Würde mich freuen wenn das mir jemand erklären könnte :)

LG

Alina

Answer 1

x²+10x+ 5²

Das kann mit binomischer Formel zusammengefasst werden zu

        \((x + 5)^2\).

Wie komme ich hier denn auf die 5² ?

5 = 10/2

Answer 2

y = x^2 + 10x + 24
zu
y = x^2 + 10x + 5^2 +24 - 5^2

5^2 ist die sogenannte Quadratische Ergänzung

Um hieraus " x^2 + 10x " eine binomische
Gleichung der Form " a^2 + 2ab + b^2 " zu machen

Dann entspricht
a^2  = x^2
a = x
-------------
2ab = 10 x
2b = 10
b = 5
-------------

b^2 = 5^2

Jetzt addieren und durch die Gegenoperation
wieder aufheben
x^2 + 10x wird zu
x^2 + 10x + 5^2 - 5^2
( x + 5 )^2 - 5^2

Insgesamt
y = x^2 + 10x + 24
y = x^2 + 10x + 5^2 +24 - 5^2
y = x^2 + 10x + 5^2 - 1
y = ( x + 5)^2 - 1
Dies ist die Scheitelpunktsform
S ( -5 | -1 )

So weit so gut.
Bei Fragen wieder melden.

Answer 3

Aloha :)$$y=x^2+10x+24$$Um diese Parabel in der Scheitelpunktform zu schreiben, benötigst du die "qadratische Ergänzung". Dazu nimmst du die Zahl vor dem \(x\), halbierst diese und quadrierst das Ergebenis \(\left(\frac{10}{2}\right)^2=25\).

Das kriegen wir schnell hingebogen:$$y=x^2+10x+25-1=(x^2+10x+25)-1=(x+5)^2-1$$Der Scheitelpunkt ist daher: \(\quad S(-5|-1)\).

Zur Bestimmung der Nullstellen kannst du die Parabelgleichung in Linearfaktoren zerlegen. Dazu brauchst du zwei Zahlen mit der Summe \(10\) und dem Produkt \(24\). Wegen \((6+4=10)\) und \((6\cdot4=24)\) sind diese beiden Zahlen die \(4\) und die \(6\). Daher lautet die Linearfaktorzerlegung:$$y=(x+4)\cdot(x+6)$$Die Nullstellen sind dort, wo einer der Faktoren null wird:\(\quad N_1(-6|0)\;;\;N_2(-4|0)\)

~plot~ x^2+10x+24 ; {-5|-1} ; {-6|0} ; {-4|0} ; [[-8|1|-2|5]] ~plot~