Scheitelform einer Parabel berechnen (geg.: 2 Nullstellen und ein Punkt P) e berechnen?

Question

als Beispiel:

geg.:Nullstelle 1 (4/0) Nullstelle 2(-10/0)  Punkt P der Parabel (6/8)

Kann ich, wenn ich die Scheitelform (f(x)=a(x+d)²+e) einer Parabel berechnen will und nur die 2 Nullstellen und ein Punkt P der Parabel gegeben habe, auch e berechnen? Wenn ja, wie?

Ich komme soweit, dass für a bei dieser Aufgabe 1/4 rauskommt und d berechnen kann.

--> y= 1/4 (x+1)² +e

doch kann ich e auch noch berechnen?

:)

Answer 1

Der konventionelle Lösungsweg wäre

f ( x ) = a * ( x + d )^2 + e

f ( 4 ) = a * ( 4 + d )^2 + e = 0
f ( -10 ) = a * ( -10 + d )^2 + e = 0
f ( 6 ) = a * ( 6 + d )^2 + e = 8

a * ( 4 + d )^2 + e = 0
a * ( -10 + d )^2 + e = 0
a * ( 6 + d )^2 + e = 8

Gleichung 2 von Gleichung 1 abziehen

a * ( 4 + d )^2 -  a * ( -10 + d)^2 = 0
a * ( 4 + d )^2 =  a * ( -10 + d)^2  | : a , da a <> 0
( 4 + d )^2 = ( -10 + d)^2
16 + 8d + d^2 = 100 - 20d + d^2
28d = 84
d = 3

a * ( 4 + d )^2 + e = 0
a * ( 6 + d )^2 + e = 8

a * ( 4 + 3 )^2 + e = 0
a * ( 6 + 3 )^2 + e = 8

a * 49 + e = 0
a * 81 + e = 8  | abziehen
------------------
49a - 81a = -8
32a = -8
a = -1/4

f ( 4 ) = a * ( 4 + d )^2 + e = 0
-1/4 * ( 4 + 3 )^2 + e = 0
-1/4 * 49 + e = 0
e = - 49/4 = -12.25

f ( x ) = 1/4 * ( x + 3 )² - 12.25

Answer 2

geg.:Nullstelle 1 (4/0) Nullstelle 2(-10/0)  Punkt P der Parabel (6/8)

y = a·(x - 4)·(x + 10)

Hier den Punkt einsetzen

8 = a·(6 - 4)·(6 + 10) --> a = 1/4

y = 1/4·(x - 4)·(x + 10) 
y = 1/4·(x^2 + 6·x - 40) 
y = 1/4·(x^2 + 6·x + 9 - 49)
y = 1/4·(x + 3)^2 - 12.25