Was ist der Ort aller Punkte X ...

Question

Aufgabe:

Sei C und ein Kreis mit dem Mittelpunkt O und E ein Punkt auf dem Kreis.

Welcher ist der Ort aller Punkte X, so dass \( \vec{AX} \) =  ||\( \vec{AE} \)||² . \( \vec{OE} \), wenn A sich auf dem Kreis bewegt?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir zuerst eine Zeichnung gemacht. Ich gehe davon aus, dass der Kreis im Nullpunkt O (0;0) zentriert ist.

Dem Punkt A habe ich die Koordinaten (α;β) gegeben, weil er sich auf dem Kreis bewegt.

Dem Punkt E habe ich die Koordinaten (x;y) gegeben.

\( \vec{AE} \) = (x-α; y-β)

\( \vec{OE} \) = (x;y)

\( \vec{AX} \) =  ||\( \vec{AE} \)||² . \( \vec{OE} \)

\( \vec{AX} \) = ((x-α)² + (y-β)²).(x;y)

Nun weiß ich nicht mehr weiter. Kann ich dieses Produkt ausführen, so dass:

\( \vec{AX} \) = (((x-α)² + (y-β)²)*x ; ((x-α)² + (y-β)²)*y) ?

Wie finde ich jetzt die Ortskurve (Gerade)?

Answer 1

Hallo,

ich versuche geometrisch an die Aufgabe heranzugehen. Der Radius des Kreises sei r.

Der Vektor AX ist ein Vielfaches des Vektors OE.

Der Faktor wird für A=E Null. Für jeden anderen Punkt auf dem Kreis ist der Faktor positiv. Am größten wird er, wenn A dem festen Punkt E(x|y) gegenüber steht. Dann ist der Abstand 2r und der Faktor gleich (2r)²=4r².

Die Punkte X liegen also auf der Strecke von O bis zu dem Punkt F(4r•x|4r•y), dessen Abstand von O gleich 4r² beträgt.

Beispiel:

E(3|4), r=5, 4r²=100, F(60|80)

:-)

Comments

Ich kann deine Überlegung zwar nachvollziehen, aber ich würde die Ortskurve gerne über die Vorgabe finden.

D.h. ich möchte die Bedingung \(\vec{AX} \) =  ||\( \vec{AE} \)||² . \( \vec{OE} \) weiter ausarbeiten.

Ich habe die Musterlösung gefunden, verstehe sie aber nicht ganz:

\( \vec{AE} \) = -\( \vec{OA} \) + \( \vec{OE} \) = (x_E - x_A)\( \vec{u} \) + (y_E - y_A)\( \vec{v} \)

||\( \vec{AE} \)||² = (x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²

\(\vec{AX} \) = [(x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²](x_E\( \vec{v} \) + y_E\( \vec{u} \))

→ x_X =  [(x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²]x_E und  y_X =  [(x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²]y_E

x_X =  [(x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²]x_E

y_X =  [(x_E - x_A)² + (y_E - y_A)²]y_E

→ \( \frac{x_{X}}{y_{X}} \) = \( \frac{x_{E}}{y_{E}} \) → Der Ort ist also y = \( \frac{x_{E}}{y_{E}} \)x, d.h. die Gerade OE, was offensichtlich war.

Die Extremkoordinanten von X sind:

A ≡ E → (0;0)

A diametral gegenüber von E: (2x_E;2y_E)

Was passiert ab \(\vec{AX} \) = ...? Wie erhält man dort die Koordinaten für X? Wieso → \( \frac{x_{X}}{y_{X}} \) = \( \frac{x_{E}}{y_{E}} \) → y = \( \frac{x_{E}}{y_{E}} \)x?

Vielen Dank

Answer 2

Hallo

dein α,β sind Winkel, egal ob in rad oder Grad, du kannst Winkel nicht von Längen  also x , y  abziehen

E ist fest, also  sollte es feste Koordinaten haben (x1,y1) mit x1^2+y1^2=r^2

A läuft  auf dem Kreis also mit A=(x,y) gilt x^2+y^2=r^2

wenn du laufende Winkel willst x=rcos(α), y=rsin(α)

|OE|=r,    Vektor OE=(x1,x2)

also liegen alle Vektoren AX in Richtung OE also auf eine Geraden, lass A von E aus laufen dann ist |AE| von 0 bis 2r bis wieder 0 du hast also die Strecke in OE Richtung mit der Länge 4r^2 auf der sich X bewegt.

lul