Zeigen Sie dass (X, ||.||1) kein Banachraum ist

Question

Aufgabe:

Sei X:= C([-1,1]) und ||f||₁ := ∫ |f(t)| dt (Die Integralgrenzen sind dabei 1 und -1)

Zeigen Sie dass (X, ||.||₁) kein Banachraum ist

Problem/Ansatz:

Meinem Verständnis zufolge muss man eine Chauchyfolge finden, die nicht in X konvergiert, aber wie gehe man dabei am besten vor?

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

natürlich gibt es viele Gegenbeispiele. Eines wäre:

Definiere:
$$f:[-1,1] \to \mathbb{R}, \quad f(x):=-1, \; -1 \leq x \leq 0, \qquad f(x):=1, \; 0<x\leq 1$$

$$f_n:[-1,1] \to \mathbb{R}, \quad f_n(x):=nx, \; -1/n\leq x \leq 1/n, \qquad f_n(x):=f(x), \text{ sonst}$$

Dann gilt für \(m>n\):

$$\|f_n-f_m\|_1 \leq \int_{-1}^1|f-f_n|=\frac{1}{n} \qquad (1)$$

Damit ist \((f_n)\) eine Cauchy-Folge. Wenn es nun eine Funktion \(h \in C[-1,1]\) mit \(\|h-f\|_1 \to 0 \) gäbe, so müsste wegen (1) gelten:

$$\int_{-1}^1|h-f|=0$$

Es ist plausibel, dass das nicht geht, lässt sich aber natürlich auch exakt beweisen.

Gruß Mathhilf