Ich mach mal die a). Das schwierigste bei der Aufgabe ist es, eine leserliche Notation zu finden^^
(i) Sei \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Cauchy-Folge in \(X\), das heißt: Für jedes \(\eta > 0\) gibt es ein \(M_\eta \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n,m\geq M_\eta\) gilt, dass \(d_X(x_n, x_m)<\eta\).
(ii) \(f\) ist gleichmäßig stetig, das heißt für alle \(\iota > 0\) existiert ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x,x'\in X\) mit \(d_X(x, x') < \delta\) gilt, dass \(d_Y(f(x), f(x')) < \iota\)
(bei gleichmäßiger Stetigkeit hängt \(\delta\) nur von \(\iota\) ab und nicht von \(x\) oder \(x'\) !)
Definiere \(y_n:=f(x_n)\). Dann ist zu zeigen, dass \((y_n)_{n\in \mathbb{N}}\) eine Cauchy-Folge ist, d.h. wir müssen zeigen, dass für alle \(\varepsilon > 0\) ein \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n,m \geq N_\varepsilon\) gilt, dass \(d_Y(y_n, y_m) < \varepsilon\).
Sei also \(\varepsilon > 0\). Wir müssen jetzt \(N_\varepsilon\) konstruieren.
Sei \(\iota = \varepsilon\). Wegen (ii) existiert ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x,x' \in X\) mit \(d_X(x, x') < \delta\) gilt, dass \(d_Y(f(x), f(x')) < \iota = \varepsilon\) (*)
Setze \(\eta = \delta\). Das muss gemacht werden, da wir jetzt (i) benutzen wollen, um \(d_X(x_n, x_m)\) in den Griff zu kriegen, sodass wir (*) benutzen können und so folgern können, dass \(d_Y(f(x_n), f(x_m)) = d_Y(y_n, y_m) < \iota = \varepsilon\) ist.
So, für unser \(\eta\) gibt es nach (i) ein \(M_\eta\), sodass für alle \(n,m \geq M_\eta~~d_X(x_n,x_m) < \eta = \delta\) gilt. Wegen \(d_X(x_n, x_m) < \delta\) folgt mit (*)
\(d_Y(f(x_n), f(x_m)) = d_Y(y_n, y_m) < \iota = \varepsilon\).
Folglich ist \(M_\eta\) ist unser gesuchtes \(N_\varepsilon\).
Bei Rückfragen stehe ich natürlich gerne zur Verfügung!
Zu b):
Bedenke meinen Hinweis zur gleichmäßigen Stetigkeit bei (ii) und schau dir den Beweis ganz genau an. Wenn du ihn verstehst, solltest du nun von selbst drauf kommen.
