Wie beweist man , dass ( ([a, b], d) ) ein metrischer Raum ist?

Question

Es sei \( f:[a, b] \rightarrow[\alpha, \beta] \) eine bijektive Abbildungen zwischen den nichtleeren, kompakten Intervallen \( [a, b],[\alpha, \beta] \subset \mathbb{R} \). Wir setzen
\( d(x, y):=|f(x)-f(y)|, \quad x, y \in \mathbb{R} . \)
Beweisen Sie, dass dann \( ([a, b], d) \) ein metrischer Raum ist.

Hallo,Guten Tag, Wie kann mann diese Aufgabe richtig lösen? Vielen Dank im Voraus

Answer 1

z.B.: \(d(x,y)=0\Rightarrow f(x)=f(y)\) Da \(f\) injektiv ist,

folgt daraus: \(x=y\).

Dreiecksungleichung: nutze, dass der Betrag der

Dreiecksungleichung genügt.