Gegenbeispiel für Vollständigkeit eines Raums finden

Question

Hallo liebe Leute,

ich hänge mal wieder bei einer Aufgabe. Ich hab als Vektorraum den Raum der beschränkten Folgen gegeben. Und als Norm die Reihe unten. Jetzt soll ich eine Cauchy-Folge konstruieren, die nicht in V konvergiert und dabei tu ich mich schwer.

Eine Idee wäre, ich setze als Grenzwert dieser Folge eine unbeschränkte Folge c_n. Diese Folge muss eingesetzt in die "Norm < oo" erfüllen. Und dann definier ich mir halt: v_n = (c_1, c_2, c_3, ..., c_n, 0, 0, 0...) als eine Folge in dieser Folge (wobei n bei v dasselbe n ist wie bei c)

Dann wäre meine Cauchy-Folge: (x_n) = (v_1, v_2, v_3,....) ohne Grenzwert in V. Soweit die Idee, die Frage ist ob ich so eine Folge überhaupt wählen kann. Besonders Bauchweh macht mir die Bedingung: "Diese Folge muss eingesetzt in die "Norm < oo" erfüllen", da sie sonst irgendwann nicht beschränkt wäre oder?

Mit der Bitte um Gedanken,

Mathstîger

Comments

Dein Raum besteht nicht aus den im gewoehnlichen Sinne beschraenkten Folgen, sondern aus denen mit endlicher Norm. Z.B. liegt \((\sqrt{k})_{k\in\mathbb{N}}\) in dem Raum, aber \((k)_{k\in\mathbb{N}}\) schon nicht mehr. Warum?

Allgemeiner liegt \((k^\alpha)_{k\in\mathbb{N}}\) für jedes \(\alpha<1\) drin, aber für \(\alpha\ge1\) nicht mehr.

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k liegt nicht mehr drinnen, weil dann für die Reihe, die harmonische Reihe rauskäme (1/k) und diese divergiert ja bekanntlich. Aber ich könnte zum Beispiel ✓k nehmen oder?

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Nehmen für was? Gesucht ist eine Cauchyfolge von Folgen aus dem Raum, die keine Grenzfolge in dem Raum hat.

Answer 1

Diese Folge muss eingesetzt in die "Norm < oo" erfüllen.

Ich sehe keinen Grund, warum das so sein muss. Die Folge (c_n)n∈ℕ ist doch deine eigene Erfindung und lediglich ein Hilfsmittel um (v_n)_n∈ℕ und (x_n)_n∈ℕ zu definieren.

Und dann definier ich mir halt: v_n = (c_1, c_2, c_3, ..., c_n, 0, 0, 0...) als eine Folge

Dann ist ||v_n+k - v_n ||_* = ∑_i=n+1..n+k |c_i|/i². Je nach Wahl der Folge (c_n)_n∈ℕ kann es sein, dass (x_n)_n∈ℕ eine Cauchy-Folge ist oder auch nicht.