Den angegebenen Raum auf Vollständigkeit überprüfen:

Question

Aufgabe:

Sei \( C^{1}\left([0,1],\|\cdot\|_{\infty}\right) \) der Raum der auf \( [0,1] \) stetig differenzierbaren Funktionen versehen mit der Supremumsnorm. Überprüfen Sie diesen Raum auf Vollständigkeit.

Problem/Ansatz:

Ich würde sagen, dass der Raum nicht vollständig ist - meine Überlegungen dazu:

fn = \( \sqrt{x+\frac{1}{n}} \) ∀n∈ℕ: fn ∈\( C^{1} \)[0,1]

f=\( \sqrt{x} \)

fn konvergiert gegen f in der sup-Norm C[0,1], und ist somit Cauchy-Folge.

\( C^{1} \)[0,1] ist ein Unterraum von C[0,1] und alle Werte von fn liegen in \( C^{1} \)[0,1], also ist fn Cauchy-Folge in \( C^{1} \)[0,1].

Allerdings liegt f ja nicht in \( C^{1} \)[0,1]. Daher ist \( C^{1} \)[0,1] mit der Supremumsnorm nicht vollständig.

Für die Vollständigkeit müsste ja jede Cauchyfolge konvergieren.

Ich hab jetzt nur noch das Problem formal richtig aufzuschreiben, dass fn gegen f in der sup-Norm konvergiert.

Danke für Hilfe ☺

Answer 1

Wegen \( \sqrt{ x + y}  \le \sqrt{ x} + \sqrt{ y} \) folgt (wegen der Monotonie können wir den Absolutbetrag weglassen)
\(\begin{aligned} 0\le   \sup_{ x\in [ 0, 1] } \left| \sqrt{ x + 1 / n} - \sqrt{ x} \right|   \le \sup_{ x \in [ 0, 1] } ( \sqrt{ x} + \sqrt{ 1 / n}  - \sqrt{ x} ) = \sqrt{ 1 / n}  \to^{ n\to \infty } 0 .\end{aligned}\)

Comments

Danke für deine Hilfe und Erklärung ☺