Aufgabe:
1.Sei [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall. Zeigen Sie, dass der Vektorraum C([a, b]) aller stetigen
Funktionen f : [a, b] → R, versehen mit der Supremumsnorm
||f|| := sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]},
vollständig ist.
2.Sei (a, b) ⊂ R ein offenes Intervall. Ist dann C((a,b)) auch vollständig? Begründen Sie Ihre
Antwort.
Defintion Vollständigkeit:
Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn ihm jede Cauchy Folge konvergiert.
Problem/Ansatz:
Meine Frage bezieht sich eher auf den 2. Teil (1. Teil habe ich schon)
Meine Antwort wäre nein, denn wenn wir uns z.B das intervall(0,1) betrachten und eine Cauchy folge jetzt gegen 0 konvergiert (die abstände wären also immer kleiner), wäre der randpunkt 0 nicht vorhanden, also kann diese cauchy folge nicht gegen den randpunkt/grenzpunkt konvergieren, also somit ist C((a,b)) nicht vollständig, wäre das so richtig?
