Aufgabe:
Betrachten Sie das Intervall I=[0,2] und für n∈ℕ die Funktion fn (t)=tn , t∈[0,1) und fn (t)= 1 für t∈[1,2]
(i) Berechnen Sie ||fn||p für p∈[1,∞], n∈ℕ
(ii) Zeigen Sie, dass (fn)n ⊂ C(I) eine Cauchy-Folge ist bzgl. der Norm ||•||p , p∈[1,∞). Folgern Sie, dass C(I) bzgl. ||•||p , p∈[1,∞) kein Banachraum ist.
(iii) Bzgl. der Norm ||•||∞ ist C(I) ein Banachraum (dies ist nicht zu zeigen). Warum ist die Folge (fn)n ⊂ C(I) hierfür kein Gegenbeispiel.
Problem/Ansatz:
Mit den Definitionen von Norm, Cauchy-Folge, usw. bin ich vertraut, jedoch weiß ich nicht wie ich dies anwenden soll.
