A und SAS^-1 gleiche Minimalpolynome?

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Mat(n×n; K), und S ∈ GLn(K). Zeigen Sie, dass die Matrizen
A und SAS^-1 die gleichen Minimalpolynome haben.

Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

Zuerst zeigen wir, dass das Minimalpolynom von \( \mathbf{S A S}^{-1} \) jenes von \( \boldsymbol{A} \) teil. Wir schreiben allgemein
\(\begin{aligned} m_{A}(\mathbf{X})=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \mathbf{X}^{i}, \quad m_{\mathbf{S A S}^{-1}}(\mathbf{X})=\sum \limits_{i=1}^{n} b_{i} \mathbf{X}^{i}\end{aligned} \)
womit sich dann
\(\begin{aligned} m_{A}\left(\mathbf{S A S}^{-1}\right)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(\mathbf{S A S}^{-1}\right)^{i}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} \mathbf{S} \boldsymbol{A}^{i} \mathbf{S}^{-1}\end{aligned} =\mathbf{S}\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} A^{i}\right) \mathbf{S}^{-1}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;=\mathbf{S} \cdot 0 \cdot \mathbf{S}^{-1}=0 \)
ergibt. Das zeigt also schonmal \( m_{SA{S^{-1}}} \mid m_{\text {A }} \). Andererseits gilt
\( \begin{aligned} m_{\mathbf{S A S}^{-1}}\left(\mathbf{S A S}^{-1}\right)=0 & \Longleftrightarrow \sum \limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(\mathbf{S A S}^{-1}\right)^{i}=\mathbf{S} \cdot m_{\mathbf{S A S}^{-1}}(\boldsymbol{A}) \cdot \mathbf{S}^{-1}=0 \\ & \Longleftrightarrow \mathrm{m}_{\mathrm{SAS}^{-1}}(\boldsymbol{A})=0 \end{aligned} \)
womit \( \mathrm{m}_{\mathbf{A}} \mid \mathrm{m}_{\mathrm{SAS}^{-1}} \) und zusammen mit der obigen Betrachtung die Gleicheit folgt.