Stellen Sie A als Vereinigung disjunkter Mengen dar.

Question

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \). Wir betrachten eine Folge \( \left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( \mathcal{A} \). Zeigen Sie:
(i) Gilt für die Ereignisse \( A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq A_{3} \subseteq \ldots \), dann gilt für \( A=\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \) :
\( P(A)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right) \)
(ii) Gilt für die Ereignisse \( A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq A_{3} \supseteq \ldots \), dann gilt für \( A=\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \) :
\( P(A)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right) \)

(i): Stellen Sie A als Vereinigung disjunkter Mengen dar.

(ii): Verwenden Sie (i) in geeigneter Weise

Answer 1

Hallo,

definiere die Mengen \(B_i:=A_i \setminus A_{i-1}\), i=2,3,.... Dann ist

$$A=A_1 \cup \bigcup_{i=2}^{\infty} B_i \Rightarrow P(A)=P(A_1)+ \sum_{i=2}^{\infty} P(B_i)= \ldots$$

Für den Teil (ii) verwende die Gegenwahrscheinlichkeit und die DeMorgan-Regeln.

Gruß Mathhilf