Vereinigung zweier disjunkter Mengen hat gleiche Mächtigkeit wie ℝ

Question

Aufgabe:

Sei M eine Menge, die die gleiche Mächtigkeit wie ℝ hat. Zudem sei eine Menge A gegeben, die endlich ist und zu M disjunkt, so dass M ∩ A = ∅

Zu zeigen: Die Vereinigung M ∪ A hat die gleiche Mächtigkeit wie ℝ.

Problem/Ansatz:

Für den Fall, dass A unendlich, aber abzählbar ist, ist mir eine bijektive Abbildung in den Sinn gekommen.

Aber irgendwie erschließt sich mir nicht ganz, wie ich das bei einer endlichen Menge hinbekommen.

Hat jemand eine Bijektion, die diese Gleichmächtigkeit beweist.

Nochmals beste Grüße und das wars nun heute wirklich,

eure Verwirrung

Answer 1

Sei \( |A|=m \in \mathbb{N} \) und \(\varphi\colon \mathbb{R} \rightarrow M \) eine Bijektion. Wir definieren nun eine Bijektion

\( \begin{array}{l} \alpha: \mathbb{R} \rightarrow M \cup A, \quad \alpha(x)=\left\{\begin{array}{l} \varphi(x-m),\space x \in \mathbb{N}_{>m} \\[5pt] \beta(x), \space x \in \mathbb{N}_{\leq m} \\[5pt] \varphi(x), \text { sonst } \end{array}\right. \end{array}\)

\(\beta: \mathbb{N}_{\leq m} \rightarrow A, \quad \beta(1)=x \in A, \quad \beta(n)=x \in A \backslash\{\beta(1), \ldots, \beta(n-1)\} . \)

Es ist nun nicht schwierig zu zeigen, dass dies eine Bijektion ist. Du kannst es ja mal selber versuchen zu beweisen.