Aufgabe:
Aus einer Urne mit n markierten Kugeln werden alle Kugeln einzeln nacheinander
ohne Zurucklegen aus der Urne gezogen, und erst danach wieder alle zusammen auf einmal in die ¨
leere Urne zuruckgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinanderfolgenden ¨
solcher vollständigen Leerungen der Urne genau k Kugeln im selben Zug gezogen werden?
a)Zeigen Sie: Die Anzahl der Permutationen der Zahlen \( 1,2, \ldots, n \) mit genau \( k \) Fixpunkten ist \( \left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right) \dot{D}_{n-k} \), wobei \( D_{m}=m ! \sum \limits_{j=0}^{m}(-1)^{j} \frac{1}{j !}, m \in \mathbb{N} \), Rencontre-Zahl heißt, also die Anzahl der \( m \)-Derangements (der fixpunktfreien \( m \)-Permutationen) ist.
b)Sei \( A_{n, k} \) das Ereignis eine Permutation der Zahlen \( 1,2, \ldots, n \) habe \( k \) Fixpunkte. Zeigen Sie: Es gilt \( P\left(A_{n, k}\right)=\frac{1}{k !} \sum \limits_{j=0}^{n-k}(-1)^{j} \frac{1}{j !} \) für \( k=0,1,2, \ldots, n \).
Problem/Ansatz:
Wie soll ich die Aufgabe berechnen, könnte mir jemand dabei helfen?
