Wie viele Permutationen von {1,2, …, n} bestehen aus genau einem Zyklus?

Question

Aufgabe:

Beantworten Sie die folgenden Fragen und beweisen Sie Ihre Antworten:

a) Wie viele Permutationen von \( \{1,2, \ldots, n\} \) bestehen aus genau einem Zyklus?

b) Wie viele Permutationen von \( \{1,2,3,4,5,6,7\} \) enthalten die Ziffern 3,4 und 5 in einer beliebigen Reihenfolge direkt hintereinander?

Ansatz:

Zu Aufgabe a): Es gibt nur eine Permutation, die aus genau einem Zyklus besteht und das ist (n,1,2,...,n-1).

Ist das richtig, und wenn ja wie beweise ich das auf mathematische Weise?

zu Aufgabe b): Es gibt 5!=60 Permutationen. Bei der Aufgabe bin ich mir eigentlich relativ sicher, dass ich richtig liege.

Answer 1

Nein, falsch. Es gibt mehrere Permutationen, die aus genau einem Zyklus bestehen.

Ich sitze auch gerade an dieser Aufgabe und verzweifle ein wenig daran (nur weil in den Lösungen etwas anderes steht).

So wie ich die Aufgabe verstehe: Man soll diejenigen Permutationen finden, die aus einem Zyklus der Länge n bestehen.

Begründung meiner Gedanken:

Da jede Permutation bzw. die Menge {1,...,n}  in disjunkte Zyklen zerlegt werden kann, sind diejenigen Permutationen gesucht, die genau in einen Zyklus (disjunkt) zerlegbar sind (also aus genau einem Zyklus bestehen) und das sind diejenigen der Länge n.

Davon gibt es einige,

Betrachte z. B. die Permutation    p : {1,...,n} ---> {1,...,n} mit

p(1)=3, p(2)=4, p(3)=2

und

p(k)=k+1 für k = 4,...,n-1

und

p(n)=1.

Es soll also für beliebiges 1 =< i <= n gelten:

[p(i) ]^k ungleich i für alle 1 <= k <= n-1

UND

[p(i)]^n = i.

Meine Antwort: es gibt genau (n-1)! Permutationen, die aus einem n-Zyklus bestehen.

In der Lösung steht aber als Ergebnis: |Zn|-1, wobei |Zn| unter dem folgenden Link im Abschnitt "Anzahl" angegeben ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/Zyklische_Permutation#Anzahl

Ich hoffe, ich konnte helfen und vielleicht kann auch mir jemand sagen, wie die Aufgabe genau zu verstehen ist.