Permutation heisst k-Zyklus. σ(a1)=a2, ...., σ(ak-1)=ak , σ(ak)=a1; σ(b)=b für alle b∉ {a1 ,....,ak }

Question

bräuchte mal eure Hilfe und danke schon im voraus.

gegeben ist : Permutation σ ∈ γ_n heißt k- Zyklus

wenn verschiedene  Zahlen a₁,.....,a_n ∈ {1,...,n} existieren, so dass

- σ(a₁)=a₂, ...., σ(a_k-1)=a_k ,  σ(a_k)=a₁

-  σ(b)=b für alle b∉ {a₁ ,....,a_k }

Aufgabe:

1) Ist σ ein k- Zyklus, so gilt σ^k = id{1,...,n} und σ^l ≠ id{1,...,n} für alle l mit 1 ≤ l < k.

2)Jeder k- Zyklus lässt sich als Produkt von k−1 Transpositionen auffassen.

Answer 1

1) Ist σ ein k- Zyklus, so gilt σ^k = id{1,...,n} und σ^l ≠ id{1,...,n} für alle l mit 1 ≤ l < k.

Stimmt. Zeichne dir das auf. n Punkte ungefähr in einem Kreis angeordnet und im Gegenuhrzeigersinn mit a1, ... , an beschriftet.

Nun nimmst du die Punkte a1,...,ak      (k≤n) und verbindest sie mit einer Kreislinie.

 σ verschiebt nun alle verbundenen Punkte um einen Schritt im Gegenuhrzeigersinn. (Allfällige Punkte ak+1... an bleiben bei  σ einfach fest, sie sind Fixpunkte)

Wenn du das k mal wiederholst, kommt dasselbe raus, wie zu Beginn. Vorher nicht. Das ist genau die Behauptung 1).

Wenn du das so begriffen hast, kannst du es vielleicht auch noch formaler formulieren (sollte das bei euch nötig sein)

2)Jeder k- Zyklus lässt sich als Produkt von k−1 Transpositionen auffassen.

Hier kannst du direkt die k-1 Transpositionen angeben.

Zuerst (ak-1,ak) dann (ak-2,ak) dann (ak-3,ak) dann (ak-4,ak)....zum Schluss (a1, ak)

das sind k-1 Transpositionen.