Anzahl der Permutation Fehler finden

Question

(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Transpositionen (Fehlstände) und \( \operatorname{sgn}(\sigma) \) für

\( \sigma=\left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{array}\right) \)

(b) Die Hintereinanderausführung o von zwei Permutationen ist wieder eine Permutation. Ebenso gibt es zu jeder Permutation eine inverse Permutation, dh. eine Permutation, mit \( \sigma \circ \sigma^{-1}=i d \). Es seien

\( \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{array}\right) \quad \tau=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 3 & 5 & 2 \end{array}\right) \)

zwei Permutationen in \( S_{5} \). Geben Sie die Permutationen an, die die Hintereinanderausführung \( \sigma \circ \tau \), die Hinereinanderausführung \( \tau \circ \sigma \) und die inverse Permuation \( \sigma^{-1} \) zu \( \sigma \) beschreibt.

Answer 1

3a)

Die Fehlstände (nicht: Fehler) der Permutation σ können mit dem im Wikipedia-Artikel zum Begriff "Fehlstand" im Abschnitt 2.1 "Konkretes Beispiel" angegebenen Verfahren ermittelt werden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlstand

 

Damit ergibt sich die Menge der Fehlstände von σ zu:

inv ( σ ) = { (1,4) , (2,4) , ( 3,4) , (1,6) , (2,6) , (3,6) , (5,6) , (2,3) , (2,5) }

Somit ist:

| inv ( σ ) | = 9

und

sgn ( σ ) = ( - 1 ) ^{| inv ( σ ) |} = - 1

 

3b)

Bei der Hintereinanderausführung (Komposition) \(\sigma \circ \tau\) zweier Permutationen, wird zunächst die zweitgenannte und dann die erstgenannte Permutation ausgeführt.

Wie die Komposition im Einzelnen durchgeführt wird, kann man im Wikipedia-Artikel zum Begriff "Permutation" im Abschnitt 5.1 "Komposition" nachlesen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation#Fehlst.C3.A4nde

Daraus ergibt sich:

$$\sigma \circ \tau =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$$$\tau \circ \sigma =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$

Die Bildung der Inversen wird im selben Artikel im Abschnitt 5.3 "Inverse Permutation" beschrieben.

Daraus ergibt sich:

$${ \sigma  }^{ -1 }=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$