Zeige, dass die Länge eines Zyklus wohldefiniert ist

Question

kann mir vielleicht jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Das Thema haben wir nur sehr kurz in der Vorlesung angeschnitten, weshalb ich mir absolut nicht sicher bin, wie es mit den Permutationen und Zyklen genau abläuft.

Aufgabe:

Eine Permutation σ ∈ S_n  heißt Zklus, wenn es d ≥ 2 und paarweise verschiedene Zahlen a₁ ,. . ., a_d ∈ {1, . . . , n}  gibt, sodass

              { a₁   falls a = a_d

σ(a) =     a_j+1  falls a= a_j mit j < d

               a      falls a ∉ { a₁ ,. . ., a_d}.

Wir schreiben dann auch  σ = (a₁, a₂, . . . , a_d) und nennen d die Länge eines Zyklus.

a) Schreiben Sie die Permutation (1 2 3 4 5
                                                       3 1 2 5 4)   ∈ S_n auf zwei verschiedene Weisen als Produkt von Zyklen.

b) Zeigen Sie, dass die Länge eines Zyklus wohldefiniert ist, d. h. aus 
(a₁, a₂, . . . , a_d) = (b₁, b₂, . . . , b_e) folgt d= e.

Problem/Ansatz:

a) Hier habe ich eine mögliche Lösung, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob sie richtig ist.

Zwar: (132) (45) oder (321)(54)

Das Problem ist, dass in der Aufgabe "Produkt von Zyklen" steht und ich mir nicht sicher bin, was es genau bedeutet. Bedeutet es, dass ich zwei Klammern brauche, um mein Zyklus darzustellen oder hat es eine andere Bedeutung?

b) Bei b habe ich so fast gar keinen Ansatz.

Mein Zyklus ist doch eine Darstellung einer Permutation. Eine Permutation ist  definiert als eine bijektive Abbildung von einer Menge A auf sich selbst. Wenn meine Permutation bijektiv ist, muss doch die Länge meiner Zyklen immer gleich sein, oder? Sonst wäre meine Permutation nicht bijektiv.

Geht das in die richtige Richtung oder lege ich voll daneben?

Falls es in die richtige Richtung geht, wie kann ich dass mathematisch sauber formulieren?

Vielen Dank im Voraus!