Aloha :)
zu a) Die Abbildung \(f\) geht vom Raum der reellen Polynome vom Grad 2 in den Raum der reellen Polynome vom Grad 2. Die Abbildungsvorschrift können wir ausführen:$$p(x)\mapsto p(2x+1)\implies$$$$ax^2+bx+c\mapsto a(2x+1)^2+b(2x+1)+c=a(4x^2+4x+1)+b(2x+1)+c\implies$$$$ax^2+bx^2+c\mapsto4ax^2+(4a+2b)x+(a+b+c)$$
Um die Linearität zu zeigen, reicht es eine Abbildungsmatrix \(A\) anzugeben. In der Standardbasis \((x^2,x,1)\) von \(\Pi_2(\mathbb R)\) lautet die gerade bestimme Abbildungsvorschrift:
$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4a\\4a+2b\\a+b+c\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}4\\4\\1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}4 & 0 & 0\\4 & 2 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$$Es existiert also eine Abbildungsmatrix \(A\) für \(f\), sodass die Abbildung linear ist.
zu b) Der kern besteht aus allen Vektoren, die auf Null abgebildet werden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline4 & 0 & 0 & 0 &\colon4\\4 & 2 & 0 & 0 &-\text{Gleichung 1}\\1 & 1 & 1 & 0 &-\frac14\cdot\text{Gleichung 1}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 2 & 0 & 0 &\colon2\\0 & 1 & 1 & 0 &-\frac12\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow x_1=0\\0 & 1 & 0 & 0 & \Rightarrow x_2=0\\0 & 0 & 1 & 0 & \Rightarrow x_3=0\end{array}$$
Der Kern enthält also nur den Vektor \((0|0|0)^T\). Das heißt, nur das Nullpolynom \(p(x)=0\) wird auf das Nullpolynom abgebildet.
