Punktsymmetrisch zum Punkt P(0|4)?

Question

Aufgabe:

Ist der Graph der Funktion f(x)= 2x^3+2x+4

Punktsymmetrisch zum Punkt P(0|4)?

Answer 1

"Ist der Graph der Funktion \(f(x)= 2x^3+2x+4\)  punktsymmetrisch zum Punkt \(P(0|4)\)?"

Ich verschiebe um 4 Einheiten nach unten

\(p(x)= 2x^3+2x\)    \(P´(0|0)\)?

\(p(-2)= 2*(-2)^3+2*(-2)=-20\)        \(p(2)= 2*(2)^3+2*(2)=20\)

\(p(-1)= 2*(-1)^3+2*(-1)=-4\)        \(p(2)= 2*(1)^3+2*(1)=4\)

Hier liegt Punktsymmetrie vor, somit auch beim verschobenen Graphen.

Comments

Also stimmt es ?

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So ist es richtig.

Answer 2

Hallo Lena,

wenn Punktsymmetrie bezüglich eines Punktes \((a,\,b)\) für eine Funktion \(f(x)\) gelten soll, so muss gelten$$f(a+x) - b = b - f(a-x) \\ \implies f(a+x) + f(a-x) = 2b $$Und das muss natürlich für alle Werte von \(x\) im Definitionsbereich gelten. Überlege Dir diesen Zusammenhang mal an Hand der folgenden Desmos-App

https://www.desmos.com/calculator/9rxe28lpkm

Verschiebe den Punkt oben rechts mit der Maus.

Wenn die Funktion \(f(x)= 2x^{3}+2x+4\) lautet, so setze das und \((a,\,b) = (0,\,4)\) oben ein $$\begin{aligned} f(0+x)+f(0-x) &= 2\cdot 4 \\ 2x^{3}+2x+4 -2x^{3}-2x+4 &= 8 \\ 8 &=8 \quad \checkmark \end{aligned}$$und damit ist die Funktion zu \((0,\,4)\) punktsymmetrisch.

Gruß Werner