Stetige Verteilung, Konstante bestimmen

Question

Aufgabe:

Die gemeinsame Dichte der zweidimensionalen stetigen reellen Zufallsvariablen \( (X, Y) \) in Abhängigkeit von der Konstanten \( c \in \mathbb{R} \) sei gegeben durch

\( f_{c}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{c}(x, y):=c(x+y+x y) \cdot \mathbb{1}_{(0,1)^{2}}(x, y) . \)

(i) Bestimmen Sie die Konstante \( c \in \mathbb{R} \) so, dass \( f_{c} \) tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

(ii) Berechnen Sie \( P(2 Y>1-X) \).

(iii) Berechnen Sie \( \mathrm{E}(X) \).

Sie dürfen von nun an ohne Beweis annehmen, dass \( \mathrm{E}(Y)=\frac{3}{5} \).

(iv) Berechnen Sie \( \mathrm{E}(X+Y) \) und \( \mathrm{E}(X Y) \)

(iiv) Sind \( X \) und \( Y \) unabhängig?

Problem/Ansatz:

Wie bestimme ich die Konstante?

Eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist es ja, wenn f(x)>=0 ist und wenn F(x)=1 ist

Answer 1

Hallo,

damit \( f_c \) eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist, muss einerseits

\(\int_{\mathbb{R^2}} f_c(x,y) \, d(x,y) = 1\) gelten. Daraus erhältst du dein \(c\). Prüfe dann noch, dass für dieses \( f_c \geq 0 \) gilt.

Comments

Muss ich die einfach jeweils nach x und y aufleiten?

---

Wer ist "die" und was willst du nach x und y "aufleiten"?

Es ist \(\int_{\mathbb{R^2}} f_c(x,y) \, d(x,y) = \int\limits_{0}^1 \int\limits_{0}^1c \cdot (x+y+xy)\,dx\,dy\). Hilft dir das weiter?