Beweisen Sie, dass f(x) = T(f, x_0)(x) für alle x ∈ ℝ gilt.

Question

Sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = sinh(x) = 1/2 (e^x - e^-x).

(a) Berechnen Sie die Taylorreihe T(f, x₀) von f im Entwicklungspunkt x₀ = 0.
(b) Beweisen Sie, dass f(x) = T(f, x₀)(x) für alle x ∈ ℝ gilt.

Hallo liebes Forum, ich hätte Probleme mit einer Aufgabe...

Für (a) hätte ich eine Taylorreihe berechnet mit:

T(f,x0) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \) x²ⁿ⁺¹/(2n+1)! = x + \( \frac{x^3}{6} \) + \( \frac{x^5}{120} \) + ...

Ich weiss leider nicht wie ich Aufgabe (b) machen kann.

Comments

Hallo,

es ist etwas schwer festzustellen, was von Dir erwartet wird.

Die einfache naheliegende Lösung ist, zu benutzen, dass die Exp-Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) durch ihre Taylor-Reihe dargestellt wird - eventuell habt Ihr die Exp-Funktion sogar so eingeführt. Dann braucht man diese Reihe ja nur in die Definition von sinh einsetzen und ist fertig.

Wenn diese Info nicht gegeben ist, müsste man mit der Restglied-Darstellung der Taylor-Reihe arbeiten - das halte ich allerdings für unwahrscheinlich.

Aber wie gesagt, Du musst wissen, was Ihr benutzen könnt.

Gruß Mathhilf