Beweisen Sie, dass für alle x ∈ ℝ+ und alle n ∈ ℕ, n ≥ 2 gilt: (1+x)^n ≥ (n^2/4)*x^2.

Question

Beweisen Sie, dass für alle x ∈ ℝ+ und alle n ∈ ℕ,  n ≥ 2 gilt:

$$ { (1+x) }^{ n }\ge \frac { { n }^{ 2 } }{ 4 } { x }^{ 2 } $$

Ich wollte das mit dem Binomischen Lehrsatz machen, aber so wirklich habe ich keine Ahnung ie ich das anstellen soll Q____Q
Wäre um jede Hilfe dankbar, weil ich glaube, dass das mir morgen im Test echt weiterhelfen könnte.

Answer 1

Da Du schon die Binomialformel erwaehnst: Aus der folgt $$(1+x)^n>{n\choose 2}x^2.$$ Es bleibt noch, $${n\choose 2}\ge\frac{n^2}{4}$$ für \(n\ge2\) zu zeigen. Ist das ein Problem?

Comments

Uhm. . . ja, dass ist ein Problem, sonst würde ich die Frage hier ja nicht posten, oder? x'D

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Dann ist es eh zu spaet. Du wirst bei dem Test morgen durchrasseln. Eine elementare Ungleichung wie \(n(n-1)/2\ge n^2/4\) nicht loesen zu koennen ist nichts, was mal eben in einem Forum korrigiert werden kann.

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Na toll x'D
Aber vielleicht kannst du mir das dennoch erklären, damit ich es vielleicht für die Zukunftvielleicht besser weiß?

Vielleicht bringt es mir a doch was xD