Beweisen Sie, dass ein C ∈ ℝ existiert, so dass f(x) = Ce^x für alle x ∈ (a, b) gilt.

Question

Sei f : (a, b) → ℝ eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f = f ′. Beweisen Sie, dass ein C ∈ ℝ existiert, so dass

f(x) = Ce^x für alle  x ∈ (a, b) gilt.

Hinweis: g(x) = f(x) · e^−x

Comments

Mit dem g aus dem Hinweis sollst Du was machen. Was wohl?

Answer 1

definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=\operatorname e^{-x}\cdot f(x)\). \(h\) ist differenzierbar und wegen \(f=f^\prime\) gilt \(h^\prime(x)=0\). Es existiert daher ein \(C\in\mathbb R\) mit \(h(x)=C\) für alle \(x\). Es ist also \(\operatorname e^{-x}\cdot f(x)=C\) und damit \(f(x)=C\cdot\operatorname e^x\).

MfG

Answer 2

verwende den Tipp und leite beide Seiten ab:

$$ g(x)=f(x)e^{-x}\\g'(x)=f'(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0\\\to f(x)e^{-x}=C\\f(x)=Ce^{x} $$