Bestimmen Sie a, b, c ∈ ℝ so, dass die Funktion f für alle Punkte x ∈ ℝ stetig ist.

Question

Aufgabe:

parameter bei überprüfung der stetigkeit?

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Leute, und zwar stehe ich gerade irgendwie auf dem Schlauch bei einer Aufgabe. Und zwar normalerweise ist es ja recht einfach eine Abschnitssweise definierte Funktion auf Stetigkeit und diff.barkeit zu überprüfen. Man muss ja platt ausgedrückt den limes von oben und von unten gegen die "Andock" stelle bilden. Aber jetzt kam in einer Aufgabe parameter hinzu und ich habe ehrlich gesagt grade keine Idee wie ich das angehen könnte. Ich hoffe auf eure hilfe. lg

Text erkannt:

a) Bestimmen Sie \( a, b, c \in \mathbb{R} \) so, dass die Funktion \( f \) für alle Punkte \( x \in \mathbb{R} \) stetig ist.
\( f(x)=\left\{\begin{array}{c} x^{2}+a x+b \mid x \leq 0 \\ \sin (c \cdot x) \mid 0<x \leq 1 \\ 1-e^{(1-x)} \mid x>1 \end{array}\right. \)
Ist es auch möglich, die Parameter so zu bestimmen, dass \( f \) stetig differenzierbar ist? Wenn ja, dann geben Sie die Werte an.

Answer 1

An der Stelle 0 muss es ja so sein, dass

\(  x^{2}+a x+b   \) für x=0 mit \(  sin (c \cdot x)  \) für x=0

übereinstimmt, es muss also b=0 gelten.

An der Stelle 1 entsprechend mit

\(  sin (c \cdot x)  \) für x=1   \(  1-e^{(1-x)}   \) für x=1

also          sin(c) =  1-1   also sin(c)=0 , also z.B. c=0.

Also ist es für b=0 und c=0 stetig.  a ist da egal.

Für stetig differenzierbar machst du das Gleiche mit den Ableitungen,

die sind 2x+a  und c*cos(cx) und e^1-x .

bei 0 also a = c*cos(0) = c

und bei 1  ist es   c*cos(c)=e^1-1 = 1   also kurz

            a=c   und  c*cos(c)=1   .

Man weiß schon b=c=0 , also wird das

                a=0   und  0*cos(0)=1

Da aber 0=1 falsch ist, kann man die Parameter

nicht so wählen, dass es stetig diffb. wird.