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stehe bei der Frage irgendwie am Schlauch. Mir ist nicht bewusst, wie ich zeigen soll, dass dies für alle m und n gilt. Wäre für jede Hilfe dankbar.

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a) Von 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar.

b) Von 2 aufeinanderfolgenden ist immer eine gerade.

Nun hast du

n*(n+1) * (n+1/2)

= n*(n+1) * (2n+1)/(2)

Die Division durch 2 ist möglich wegen b) .

Sind n oder n+1 durch 3 teilbar bist du fertig.

Du müsstest jetzt noch begründen, warum 2n+1 durch 3 teilbar sein muss, wenn n und n+1 es nicht sind, damit der Beweis für alle n fertig ist.

Könnte daran liegen, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen eine natürliche Zahl ist.

Danke für die Hilfe!

Wird wohl daran liegen, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, welche nicht durch drei teilbar sind, durch drei teilbar ist. Oder?

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Hi,
da \( n \) nicht durch 3 teilbar sein darf, muss \( n = 3k+1 \) oder \( n = 3k+2 \) gelten. Da auch \( n+1 \) nicht durch 3 teilbar sein darf, muss \( n = 3k+1 \) gelten. Damit gilt für
$$ \frac{2n+1}{2} = \frac{6k + 3}{2} = \frac{3(2k+1)}{2} $$ Da das Produkt von \( n (n+1) \) durch 2 teilbar ist, folgt das gesamte Produkt ist durch 3 teilbar.

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