Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N ein m ∈ N existiert, so dass

Question

 

stehe bei der Frage irgendwie am Schlauch. Mir ist nicht bewusst, wie ich zeigen soll, dass dies für alle m und n gilt. Wäre für jede Hilfe dankbar.

Comments

a) Von 3 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer eine durch 3 teilbar. 

b) Von 2 aufeinanderfolgenden ist immer eine gerade. 

Nun hast du

n*(n+1) * (n+1/2) 

= n*(n+1) * (2n+1)/(2) 

Die Division durch 2 ist möglich wegen b) .

Sind n oder n+1 durch 3 teilbar bist du fertig. 

Du müsstest jetzt noch begründen, warum 2n+1 durch 3 teilbar sein muss, wenn n und n+1 es nicht sind, damit der Beweis für alle n fertig ist. 

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Könnte daran liegen, dass die Summe der ersten n Quadratzahlen eine natürliche Zahl ist.

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Danke für die Hilfe! 

Wird wohl daran liegen, dass die Summe von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, welche nicht durch drei teilbar sind, durch drei teilbar ist. Oder? 

Answer 1

Hi,
da \( n \) nicht durch 3 teilbar sein darf, muss \( n = 3k+1 \) oder \( n = 3k+2 \) gelten. Da auch \( n+1 \) nicht durch 3 teilbar sein darf, muss \( n = 3k+1 \) gelten. Damit gilt für
$$ \frac{2n+1}{2} = \frac{6k + 3}{2} = \frac{3(2k+1)}{2} $$ Da das Produkt von \( n (n+1) \) durch 2 teilbar ist, folgt das gesamte Produkt ist durch 3 teilbar.