Stammfunktion sinus Bruch

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Stammfunktion von (d) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1-\cos ^{2}(x)}{2 \cos ^{2}(x)} d x \)

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher noch keinen Ansatz gefunden mit dem ich die Funktion aufleiten kann.

Answer 1

Hallo

schreibe 1/cos^2(x)-1 das 1/2 zieh vor das Integral

die Stammfunktion von 1/cos^2(x) sollte man kennen? (tan(x)) und 1 zu integrieren sollte dir gelingen.

Gruß lul

Comments

In den Lösungen von der Aufgabe stand die Aufteilung \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos ^{2}(x)}-\frac{\cos ^{2}(x)}{2 \cos ^{2}(x)} d x \). Warum kommt dann bei dem letzen Teil 1 dabei heraus wenn es eigentlich 1/2 ist?

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Also 0,5x aufgeleitet

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Hallo

das ist dasselbe, was ich geschrieben habe, nur habe ich 1/2 ausgeklammert bzw vor das Integral gedacht. Du musst post schon genauer lesen.

lul

Answer 2

1- cos^2(x)= sin^2(x)

sin^2(x)/cos^2(x) = tan^2(x)

1/2 kannst du vors Integral ziehen

Answer 3

Aloha :)

Da springt mir sofort die Tangens-Funktion ins Auge, denn es gilt ja:$$(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}=1+\tan^2x$$Die Zwischenschritte habe ich für den unwahrscheinlichen Fall eingebaut, dass du die Ableitung der Tangens-Funktion nicht auswendig kennst.

Damit lautet das Integral:$$I=\int\limits_0^{\pi/4}\frac{1-\cos^2x}{2\cos^2x}\,dx=\frac12\int\limits_0^{\pi/4}\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\,dx=\frac12\int\limits_0^{\pi/4}\tan^2x\,dx$$$$\phantom I=\frac12\int\limits_0^{\pi/4}(1+\tan^2x)\,dx-\frac12\int\limits_0^{\pi/4}1\,dx=\frac12\left[\tan x\right]_0^{\pi/4}-\frac12\left[x\right]_0^{\pi/4}=\frac12-\frac\pi8$$