Berechnen Sie die Inverse A−1 für a = 0.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix:

A= ( 1+a  2  -1)

   ( 1    2     1 )

   ( 1   2a    1 )

(Soll eine Matrix sein, konnte es nicht anders eingeben).

Für welche Werte von a ist die Matrix A invertierbar?
Berechnen Sie die Inverse A−1 für a = 0.

Problem/Ansatz:

Also ich weiss nicht ganz genau wie ich das machen soll. Ich habe die Determinante berechnet und habe a= 1 und a= 2 raus. Muss ich die jetzt in die Matrix einsetzen jeweils und dann die Matrix auflösen? Oder ist mein Ansatz komplett falsch? Wäre echt dankbar wenn mir einer die Aufgabe erklären könnte

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrr}1+a & 2 & -1\\1 & 2 & 1\\1 & 2a & 1\end{array}\right)$$ist genau dann invertierbar, wenn die Determinante \(\ne0\) ist:$$0\stackrel{!}{\ne}\left|\begin{array}{rrr}1+a & 2 & -1\\1 & 2 & 1\\1 & 2a & 1\end{array}\right|\stackrel{(1)}{=}2\left|\begin{array}{rrr}1+a & 1 & -1\\1 & 1 & 1\\1 & a & 1\end{array}\right|\stackrel{(2)}{=}2\left|\begin{array}{rrr}1+a & 1 & -1\\2+a & 2 & 0\\2+a & 1+a & 0\end{array}\right|$$$$\phantom0\stackrel{(3)}{=}-2(\;(2+a)(1+a)-(2+a)\cdot2)\;)=-2(2+a)(a-1)\quad\implies\quad \underline{\underline{a\ne-2\;\land\;a\ne1}}$$Die Rechenschritte dazu sind:$$\text(1)\quad\text{Wir ziehen den Faktor 2 aus Spalte 2 vor die Determinante.}$$$$\text(2)\quad\text{Wir addieren Zeile 1 zu Zeile 2 und zu Zeile 3.}$$$$\text(3)\quad\text{Wir entwickeln die Determinante nach der letzten Spalte..}$$

Die Matrix ist also genau dann invertierbar, wenn \((a\ne-2)\) und \((a\ne1)\) gilt.

Da du \(2\) anstatt \((-2)\) heraus bekommen hast, muss in deiner Rechung irgendein Bug stecken.

zu b) Für \((a=0)\) lautet die Matrix:$$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Zur Bestimmung der Inversen gibt es ein einfaches Verfahren. Du schreibst rechts neben die Matrix eine Einheitsmatrix. Dann bringst du die linke Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf die Form einer Einheitsmatrix und wiederholst alle dazu nötigen Operationen auch an der rechten Matrix. Am Ende steht dann links die Einheitsmatrix und rechts die gesuchte inverse Matrix.

$$\begin{array}{rrr|rrr|l}1&2&-1 & 1&0&0&\\1&2&1 & 0&1&0 & -\text{Zeile 1}\\1&0&1 & 0&0&1 & -\text{Zeile 1}\\\hline1&2&-1 & 1&0&0&+\text{Zeile 3}\\0&0&2 & -1&1&0 &-\text{Zeile 3}\\0&-2&2 & -1&0&1 & \\\hline1&0&1 & 0&0&1&\\0&2&0 & 0&1&-1 &:2\\0&-2&2 & -1&0&1 &+\text{Zeile 2}\\\hline1&0&1 & 0&0&1&-\frac12\cdot\text{Zeile 3}\\0&1&0 & 0&0,5&-0,5 &\\0&0&2 & -1&1&0 &:2\\\hline1&0&0 & 0,5&-0,5&1&\\0&1&0 & 0&0,5&-0,5 &\\0&0&1 & -0,5&0,5&0 &\end{array}$$

Die inverse Matrix lautet also:$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}\frac12 & -\frac12 & 1\\[1ex]0 & \frac12 & -\frac12\\[1ex]-\frac12 & \frac12 & 0\end{array}\right)$$

Answer 2

https://matrixcalc.org/de/

Benutze den Link zur Hilfe und Kontrolle

Comments

Ich würde gerne wissen, wie und was ich berechnen muss :)

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Bei der ersten Frage rechnest du die Determinante in Abhängigkeit von a, dann musst du alle a-Werte finden, mit denen dann die Matrix invertierbar ist, heißt mit denen dann die Matrix die Determinante ungleich 0 hat. Da würde ich die Nullstellen der Determinante in Abhängigkeit von a rechnen und dann antworten, dass die Matrix für alle a-Werte außer die gerechneten Nullstellen invertierbar ist. In dem Link kannst du dann überprüfen, ob die Matrizen mit den jeweiligen a-Werten als Nullstellen invertierbar ist oder nicht.

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Bei der zweiten Frage würde ich erstmal a=0 setzen und dann die Inverse bestimmen. Das geht durch verschiedene Wege, wie z.B. durch die Cramersche Regel oder mit dem Simultanverfahren.