Äquivalenzen zu dimV=∞ zeigen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für einen Vektorraum \( V \) über einem Körper \( K \) die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) \( \operatorname{dim}_{K} V=\infty \)
(ii) Es existiert eine Folge von Vektoren \( \left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \cdots \in V\right) \), sodass für jedes \( n \in \mathbb{N} \) die Familie \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} \) linear unabhängig ist.
(iii) Es existiert eine Folge von Vektoren \( \left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \cdots \in V\right) \), sodass die gesamte Familie \( \left(\left\{\mathbf{v}_{\mathbf{i}} \mid i \in \mathbb{N}\right\}\right) \) linear unabhängig ist.
(iv) Zu jedem \( n \in \mathbb{N} \) gibt es eine linear unabhängige Familie von \( n \) Vektoren in \( V \).

Problem/Ansatz:

Also methodisches Vorgehen ist klar, würde das ganze gerne via einem Ringschluss lösen. Allerdings bräuchte ich mal ein wenig Hilfe:

(i)=>(ii): Die \( \operatorname{dim}_{K} V=\infty \), nach Definition der Demension existiert kein m, sodass die Länge der Basis gleich m wäre. Daraus folgt die Basis ist unendlich. Da es sich ja immernoch um eine Basis handelt, sind bilden die Vektoren \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} \) ein EZS und sind linear unabhängig. Aus letzterem würde dann (ii) folgen.

(ii)=>(iii): Hier sehe ich irgendwie nicht wirklich einen unterschied zur (ii) Behauptung. Ob ich jetzt sage, dass gilt für jedes \( n \in \mathbb{N}\) oder das ist die gesamte Familie oder doch die gleiche Aussage, oder net? Oder bezieht sich die (ii) Aussage auf eine endliche Familie und die (iii) auf eine unendliche?

(iii)=>(vi): Hier sehe ich halt auch keinen wirklichen Unterschied zur (ii) und habe auch keine Idee was man da beweisen soll. Wenn schon die gesamte Familie linear unabhängig ist, dann kann ich doch auch ne endliche Teilmenge nehmen, die immernoch linear unabhängig ist, oder net?

(vi)=>(i): Bräuchte ich hier nicht eigentlich noch Wissen, ob das ganze auch ein EZS ist, sonst kann ich doch gar nicht wissen ob das eine Basis bildet. Und selbst wenn, die Familie hat n Vektoren, dann ist doch die Dimension nach Definition: \( \operatorname{dim}_{K} V=n \) oder nicht?

Ich hoffe jemand kann mir bei meinen Fragen behilflich sein. Ich bedanke mich für jede Form der Hilfe.

LG Dirk :D

Answer 1

bilden die Vektoren \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \ldots, \mathbf{v}_{\mathbf{n}}\right\} \) ein EZS und sind linear unabhängig.

Sie bilden kein Erzeugendensystem. Würden sie ein Erzeugendensystem bilden, dann wäre \(\dim V \leq n\).

(ii)=>(iii): Hier sehe ich irgendwie nicht wirklich einen unterschied zur (ii)

(ii) sagt aus

• \(\{\mathbf{v}_1\}\) ist linear unabhängig
  
• \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\}\) ist linear unabhängig
• \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\}\) ist linear unabhängig
• ...

(iii) impliziert aber, dass auch zum Beispiel \(\{\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3, \mathbf{v}_5, \mathbf{v}_7, \mathbf{v}_{11}, \mathbf{v}_{13}\}\) linear unabhängig ist. \( \left\{\mathbf{v}_{\mathbf{i}} \mid i \in \mathbb{N}\right\} \) ist ja laut Definition nur dann linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge linear unabhängig ist.

Oder bezieht sich die (ii) Aussage auf eine endliche Familie

Aussage (ii) fordert, "Es existiert eine Folge von Vektoren \( \left(\mathbf{v}_{\mathbf{1}}, \mathbf{v}_{\mathbf{2}}, \cdots \in V\right) \) ...". Die Folge muss nicht endlich sein.

Wenn schon die gesamte Familie linear unabhängig ist, dann kann ich doch auch ne endliche Teilmenge nehmen, die immernoch linear unabhängig ist, oder net?

Ja, kannst du. Und zwar egal wie groß diese endliche Teilmenge werden soll. Du musst halt nur noch begründen, warum du das kannst.

(vi)=>(i): Bräuchte ich hier nicht eigentlich noch Wissen, ob das ganze auch ein EZS ist

Was meinst du genau mit "das ganze".