Begründen Sie warum die cosinus-Funktion cos: R -- R einen Fixpunkt besitzt.

Question

Aufgabe:

Begründen Sie warum die cosinus-Funktion cos: R → R einen Fixpunkt besitzt.

Problem/Ansatz:

die Funktion besitzt einen Fixpunkt wenn es ein x aus der Definitionsmenge gibt, sodass x = cos(x) gilt.

Normalerweise haben wir bei solchen Aufgaben ein Intervall und können dann die Intervallgrenzen einsetzen aber hier steht nur von R nach R. Kann man hier den Zwischenwertsatz irgendwie verwenden? Wenn ja, wie ohne Intervallgrenzen? und wenn nein, wie würde man das sonst lösen?

Danke im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Betrachte die Funktion:\(\quad f(x)\coloneqq x-\cos(x)\)

Wir stellen zunächst fest, dass:$$f(0)=0-\cos(0)=-1\quad;\quad f(\frac\pi2)=\frac\pi2-0=\frac\pi2$$Da \(x\) stetig ist und \(\cos(x)\) stetig ist, ist auch die Differenz, also \(f(x)\) stetig. Nach dem Zwischenwertsatz nimmt die Funktion \(f(x)\) im Intervall \(0<x<\frac\pi2\) alle Werte zwischen \(f(0)=-1\) und \(f(\frac\pi2)=\frac\pi2\) an. In diesem Bereich liegt auch die Null.

Es gibt also ein \(x_0\in\left(0;\frac\pi2\right)\) mit \(f(x_0)=0\) bzw. mit \(x_0=\cos(x_0)\).

Comments

Hallo, vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)

Answer 2

da cos (x) nur zwischen -1 und 1 vorkommt
gilt das für x auch.
Leider bringt mich das nicht weiter.

Mir hlft nur Newton
f ( x ) = cos(x) - x = 0

x = 0.7390851332
Probe
cos (0.7390851332) = 0.7390851332
Bingo

Comments

Vielleicht noch
x = cos(x)  | arccos
arccos ( x ) = x

x = x
cos ( x ) = arccos(x)

hilft das weiter ?

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Ahh das ist Dottie's number habe ich beim Googeln gefunden. Vielen Dank!