Bestimmen Sie die Koordinaten des Polynoms

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1:
Gegeben ist der Vektorraum \( \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R}:=\left\{p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: X \mapsto p(X)=\sum \limits_{j=0}^{2} \alpha_{j} X^{j} \mid \alpha_{j} \in \mathbb{R}\right\} \) der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen
\( B: 1, X, X^2 \text und C:-2+X, 2+X^2,-3+2 X \)
(a)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Polynoms \( p(X)=-4+3 X+X^{2} \) bezüglich der Basen \( B \) und \( C \).

Ich komme leider überhaupt nicht weiter

Answer 1

\( p(X)=-4+3 X+X^{2} =  -4 \cdot 1 + 3 \cdot X + 1 \cdot X^2 \) 

also sind ( -4 ; 3 ; 1 ) die Koordinaten bzgl. B.

Und für C musst du ansetzen

\(-4+3 X+X^{2} =  a\cdot (-2+X) + b \cdot (2+X^2) + c \cdot (-3+X) \)

und dann a,b,c bestimmen, das sind die ges. Koordinaten.

Gibt a=3 und b=1 und c=0.

Answer 2

Aloha :)

Die Basis \(B=(1;x;x^2)\) ist die Standardbasis der Polynome bis maximal 2-ter Ordnung.

Die Basis \(C=(-2+x;2+x^2;-3+2x)\) ist bezüglich der Basis \(B\) angegeben.

Damit kennen wir die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(B\):$${_B}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -3\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$Damit ist auch klar, wie man von \(B\) nach \(C\) transformiert:$${_C}\mathbf{id}_B=\left({_B}\mathbf{id}_C\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-2 & -3 & 4\\0 & 0 & 1\\1 & 2 & -2\end{array}\right)$$

Das gegebenen Polynom \(p(x)=-4+3x+x^2\) kannst du nun bezüglich \(B\) darstellen:$$p(x)=-4+3x+x^2=\left(\begin{array}{r}-4\\3\\1\end{array}\right)_{\!\!B}$$und in die Darstellung bezüglich \(C\) transformieren:$$p(x)=-4+3x+x^2=\left(\left(\begin{array}{rrr}-2 & -3 & 4\\0 & 0 & 1\\1 & 2 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}-4\\3\\1\end{array}\right)_{\!\!B}\right)_{\!\!C}=\left(\begin{array}{r}3\\1\\0\end{array}\right)_{\!\!C}$$

Ohne Matrizen heißt das:$$p(x)=-4+3x+x^2=3\cdot(-2+x)+1\cdot(2+x^2)+0\cdot(-3+2x)$$