Berechnen Sie den Funktionsterm des Polynoms.

Question

Aufgabe:

Die Funktion f ist eine gerade Polynomfunktion vom Grade vier, die in W(2;−20/3)
einen Wendepunkt hat. Die Steigung der Wendetangente beträgt m = −16/3. Berechnen Sie den Funktionsterm des Polynoms.

Answer 1

Willkommen in der Mathelounge!

allgemeine Funktionsgleichung einer gerade Funktion 4. Grades und ihrer Ableitungen:

$\begin{array}{l}f(x)=a x^{4}+c x^{2}+e \\ f^{\prime}(x)=4 a x^{3}+2 c x \\ f^{\prime \prime}(x)=12 a x^{2}+2 c\end{array}$

Du kannst der Aufgabenstellung drei Informationen entnehmen:

$\begin{array}{l}f(2)=-\frac{2 0}{3} \Rightarrow 16 a+4 c+e=-\frac{20}{3} \\[8pt] f^{\prime \prime}(2)=0 \Rightarrow 48 a+2 c=0 \\[8pt] f^{\prime}(2)=-\frac{16}{3} \Rightarrow 32 a+4 c=-\frac{16}{3}\end{array}$

Die Lösung des Gleichungssystems ergibt die Funktionsgleichung

$f(x)=\frac{1}{12} x^{4}-2 x^{2}$

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Sehr schön wie immer.

Warum nimmst du nicht a, b, c?

b und c könnten dich wegen Unterschlagen oder grober Missachtung verklagen. :)

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Ich glaube, da habe ich nichts zu befürchten.

eine "komplette" Funktion 4. Grades wäre mit a, b, c, d und e

Die Parameter der ungeraden Exponenten habe ich rausgelassen.

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Warts nur auf! Die Klage ist schon eingereicht, wie b mir soeben per mail

mitgeteilt hat. :)

Answer 2

f(x) = ax⁴+bx²+c

f '(x) = 4ax³+2bx

f ''(x) = 12ax²+2b

f(2) = -20/3

f ''(2) = 0

f '(2) = -16/3

Hilft das weiter?

Answer 3

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f'(0) = 0
f'''(0) = 0 → Die ersten beiden Eigenschaften braucht man für eine gerade Funktion

f(2) = -20/3
f'(2) = -16/3
f''(2) = 0

Gleichungssystem

d = 0
6·b = 0 → Auch hier wieder für eine gerade Funktion. Handschriftlich lässt man das Weg und setzt einfach b = d = 0.

16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = -20/3
32·a + 12·b + 4·c + d = -16/3
48·a + 12·b + 2·c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = 1/12·x⁴ - 2·x²