Hallo Sissi,
Ich unterstelle, dass von der Gleichung \(z^3-(i+1)=0\) die Nullstellen gesicht werden. Gebe bitte die Gleichung immer vollständig an.
Den Betrag hast Du richtig gelöst. Schreibe aber bitte statt \(2^{0,16}\) den genauen Wert \(2^{1/6}\). Die Ergebnisse müsen um \(\frac{2}{3}\pi\) phasenverschoben sein. Das ist bei Dir nicht der Fall.
In Polarform sähe die Gleichung so aus:$$z^3 = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 2^{1/2} e^{i\pi/4}$$Da \(e^{2i\pi} = 1\) ist, multipliziere ich die rechte Seite damit \(k\)-mal. Anschließend zieht man die dritte Wurzel, indem man die Potenz durch 3 dividiert. Also$$\begin{aligned} z^3 &= 2^{1/2} e^{i\pi/4} \\z^3 &= 2^{1/2} e^{i\pi/4} \cdot \left(e^{2i\pi}\right)^{k} &&k \in \mathbb{Z} \\z^3 &= 2^{1/2} e^{i\pi/4 + 2i k\pi} &&|\, \sqrt[3]{}\\ z_{1,2,3} &= 2^{1/6} e^{i\pi/12 + 2ik\pi/3} &&k \in\{0,\,1,\,2\}\\ &= 2^{1/6} e^{i(1+8k)\pi/12}\end{aligned}$$Für andere Werte für \(k\) als 0, 1 und 2 wiederholt sich der Wert jeweils. D.h. es gibt nur genau drei Lösungen.
Hier das Ganze noch mal graphisch:
Gruß Werner
