Finde a, b, c des komplexen Polynoms

Question

Aufgabe:

P(z) = z³ + az² + bz + c

Finde a, b, c, wenn:

i eine Nullstelle des Polynoms ist

P(1) = -4i

Der Rest der Division von P(z) durch z + i = -8i

Problem/Ansatz:

Wenn i eine Nullstelle von P(z) ist, dann P(i) = 0 → i³ + ai² + bi + c = 0

P(1) = - 4i → a + b + c = -4i

Ich weiß nicht genau, wie ich das mit dem Rest verstehen soll.

Ich denke danach muss ich diese 3 Gleichungen in einem Gleichungssystem lösen.

Answer 1

P(1) = - 4i →  1 + a + b + c = -4i      1 fehlt !

Und dann mache einfach die Division und du

bekommst den Rest c-bi+a+i und der ist gleich -8i.

Ich habe dann P(z) =  z^3 -3z^2 + 5z -3 - 4i

Comments

Muss es beim Rest nicht c-bi-a-i heißen?

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Ich meine c-(bi-a-i) =  c-bi+a+i

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Oh. Habe mich auch verrechnet. Nun sollte es
\((-i)^3+a(-i)^2+b(-i)+c=c-bi-a+i\) heißen ;-)

Answer 2

Zur Geschichte mit dem Rest:

Ist \(P(z)=(z-(-i))Q(z)+r\) mit dem Rest \(r\), so ist

\(P(-i)=(-i-(-i))Q(-i)+r=0+r=r\).